Cecha podzielności przez 3 i przez 9

Suma cyfr liczby dzieli się przez 3 (przez 9)

Cecha podzielności przez 4

Liczba z dwóch ostatnich cyfr dzieli się przez 4

Cecha podzielności przez 6

Liczba dzieli się jednocześnie przez 2 i przez 3

Czy 1 jest liczbą pierwszą? Która liczba pierwsza jest parzysta?

1 nie jest ani pierwsza, ani złożona. Jedyna parzysta liczba pierwsza to 2.

Jak zapisać w dowodzie liczbę parzystą, nieparzystą i trzy kolejne liczby całkowite?

2k, 2k + 1 oraz n, n + 1, n + 2, gdzie k i n są całkowite

Błąd bezwzględny i błąd względny przybliżenia a liczby x

Bezwzględny |x - a|, względny |x - a||x|

Notacja wykładnicza liczby

a 10k, gdzie 1 a < 10 i k jest całkowite

Oprocentowanie wzrosło z 4% do 5%. O ile?

O 1 punkt procentowy, czyli o 25%

Reszta z dzielenia W(x) przez (x - a) jest równa W(a)

Gdzie szukać pierwiastków całkowitych wielomianu o współczynnikach całkowitych?

Wśród dzielników wyrazu wolnego

Jak powstaje wykres y = f(x - p) + q?

Przesunięcie wykresu f o wektor [p, q]

Jak powstają wykresy y = -f(x) i y = f(-x)?

-f(x): symetria względem osi Ox; f(-x): symetria względem osi Oy

Jak powstaje wykres y = |f(x)|?

Część wykresu pod osią Ox odbijasz symetrycznie nad oś, reszta zostaje

Kiedy funkcja f(x) = ax + b jest rosnąca, a kiedy stała?

Rosnąca dla a > 0, malejąca dla a < 0, stała dla a = 0

Funkcja f(x) = ax: monotoniczność i punkt stały wykresu

Rosnąca dla a > 1, malejąca dla 0 < a < 1; wykres przechodzi przez (0, 1)

Funkcja f(x) = x: dziedzina i punkt stały wykresu

Dziedzina x > 0; wykres przechodzi przez (1, 0)

Kiedy ax2 + bx + c 0 i > 0?

Dla x (x1, x2), czyli między pierwiastkami

Znaki funkcji trygonometrycznych w ćwiartkach

I: wszystkie dodatnie. II: sinus. III: tangens. IV: cosinus

Zbiór wartości sinusa, cosinusa i tangensa

Sinus i cosinus: [-1, 1]. Tangens: wszystkie liczby rzeczywiste

Kąt zewnętrzny trójkąta

Jest równy sumie dwóch kątów wewnętrznych do niego nieprzyległych

Kiedy z trzech odcinków da się zbudować trójkąt?

Gdy najdłuższy jest krótszy od sumy dwóch pozostałych

Gdzie leży środek okręgu opisanego na trójkącie?

W punkcie przecięcia symetralnych boków

Gdzie leży środek okręgu wpisanego w trójkąt?

W punkcie przecięcia dwusiecznych kątów

Boki trójkąta prostokątnego równoramiennego i przekątna kwadratu o boku a

a, a, a 2; przekątna kwadratu to a 2

Własności wysokości opuszczonej na podstawę trójkąta równoramiennego

Jest też środkową i dwusieczną kąta przy wierzchołku

Własności przekątnych i kątów równoległoboku

Przekątne dzielą się na połowy; sąsiednie kąty sumują się do 180

Z czego składa się sześciokąt foremny o boku a?

Z sześciu trójkątów równobocznych o boku a

Kiedy dwa okręgi są styczne zewnętrznie, a kiedy wewnętrznie?

Zewnętrznie: |S1 S2| = r1 + r2. Wewnętrznie: |S1 S2| = |r1 - r2|

Co znaczy „graniastosłup prawidłowy”?

Graniastosłup prosty, którego podstawa jest wielokątem foremnym

Gdzie pada spodek wysokości ostrosłupa prawidłowego?

W środek okręgu opisanego na podstawie

Kąt nachylenia krawędzi bocznej ostrosłupa do płaszczyzny podstawy

Kąt między krawędzią boczną a jej rzutem na podstawę

Kąt nachylenia ściany bocznej ostrosłupa do płaszczyzny podstawy

Kąt między wysokością ściany bocznej a odcinkiem od spodka wysokości ostrosłupa do środka krawędzi podstawy

Liczba wierzchołków, krawędzi i ścian graniastosłupa n-kątnego

2n wierzchołków, 3n krawędzi, n + 2 ściany

Czego nie ma w karcie wzorów CKE: fiszki z matematyki

Wszystkie karty

Liczby i dowody

Cecha podzielności przez 3 i przez 9Suma cyfr liczby dzieli się przez 3 (przez 9)738: suma cyfr 18, więc dzieli się i przez 3, i przez 9.
Cecha podzielności przez 4Liczba z dwóch ostatnich cyfr dzieli się przez 4Przez 8: liczba z trzech ostatnich cyfr dzieli się przez 8.
Cecha podzielności przez 6Liczba dzieli się jednocześnie przez 2 i przez 3Tak samo przez 15: przez 3 i przez 5. Dzielniki muszą być względnie pierwsze.
Czy 1 jest liczbą pierwszą? Która liczba pierwsza jest parzysta?1 nie jest ani pierwsza, ani złożona. Jedyna parzysta liczba pierwsza to 2.
Związek NWD i NWW dwóch liczb naturalnych a i bNWD(a, b) ⋅ NWW(a, b) = a ⋅ bZ NWD od razu liczysz NWW: dla 12 i 18 to $\dfrac{12 \cdot 18}{6} = 36$ .
Jak zapisać w dowodzie liczbę parzystą, nieparzystą i trzy kolejne liczby całkowite?2k, 2k + 1 oraz n, n + 1, n + 2, gdzie k i n są całkowiteLiczba podzielna przez 3: 3k; dająca resztę 1 z dzielenia przez 3: 3k + 1.
Przez co zawsze dzieli się iloczyn trzech kolejnych liczb całkowitych?Przez 6Wśród nich jest liczba parzysta i liczba podzielna przez 3. Iloczyn dwóch kolejnych jest zawsze parzysty.
Błąd bezwzględny i błąd względny przybliżenia a liczby xBezwzględny ∣x − a∣, względny $\dfrac{|x - a|}{|x|}$ Względny dzielisz przez wartość DOKŁADNĄ x, nie przez przybliżenie. Często w procentach.
Notacja wykładnicza liczbya ⋅ 10^k, gdzie 1 ≤ a < 10 i k jest całkowite0,00052 = 5,2 ⋅ 10⁻⁴, a nie 52 ⋅ 10⁻⁵.
Oprocentowanie wzrosło z 4% do 5%. O ile?O 1 punkt procentowy, czyli o 25%Punkty procentowe to różnica procentów; procent to zmiana względna.
Ile wynoszą log_a 1 i log_a a?log_a 1 = 0, log_a a = 1
Twierdzenie BézoutaReszta z dzielenia W(x) przez (x − a) jest równa W(a)Więc W(x) dzieli się przez (x − a) wtedy i tylko wtedy, gdy W(a) = 0. Rozszerzenie.
Gdzie szukać pierwiastków całkowitych wielomianu o współczynnikach całkowitych?Wśród dzielników wyrazu wolnegoSprawdzasz je po kolei, podstawiając do wielomianu. Rozszerzenie.

Funkcje i wykresy

Jak powstaje wykres y = f(x − p) + q?Przesunięcie wykresu f o wektor [p, q]f(x + 2) to przesunięcie o 2 w LEWO: znak w nawiasie działa odwrotnie.
Jak powstają wykresy y = −f(x) i y = f(−x)?−f(x): symetria względem osi Ox; f(−x): symetria względem osi Oy
Jak powstaje wykres y = ∣f(x)∣?Część wykresu pod osią Ox odbijasz symetrycznie nad oś, reszta zostajeWykres ∣f(x)∣ nigdy nie schodzi poniżej osi Ox. Rozszerzenie.
Kiedy funkcja f(x) = ax + b jest rosnąca, a kiedy stała?Rosnąca dla a > 0, malejąca dla a < 0, stała dla a = 0Miejsce zerowe (dla a ≠ 0): $x = -\dfrac{b}{a}$ .
Asymptoty wykresu $f(x) = \dfrac{a}{x - p} + q$ Pionowa x = p, pozioma y = qDziedzina to $\mathbb{R} \setminus \{p\}$ , zbiór wartości $\mathbb{R} \setminus \{q\}$ .
Funkcja f(x) = a^x: monotoniczność i punkt stały wykresuRosnąca dla a > 1, malejąca dla 0 < a < 1; wykres przechodzi przez (0, 1)Wartości zawsze dodatnie: wykres leży nad osią Ox.
Funkcja f(x) = log_a x: dziedzina i punkt stały wykresuDziedzina x > 0; wykres przechodzi przez (1, 0)Rosnąca dla a > 1, malejąca dla 0 < a < 1.
Kiedy ax² + bx + c < 0, gdy a > 0 i Δ > 0?Dla $x \in (x_1, x_2)$ , czyli między pierwiastkamiRamiona w górę, więc pod osią jest środek. Przy a < 0 odwrotnie. Zawsze szkicuj parabolę.

Trygonometria

Zamiana stopni na radiany180° = π $60^\circ = \dfrac{\pi}{3}$ , $45^\circ = \dfrac{\pi}{4}$ , $30^\circ = \dfrac{\pi}{6}$ .
Znaki funkcji trygonometrycznych w ćwiartkachI: wszystkie dodatnie. II: sinus. III: tangens. IV: cosinusW każdej ćwiartce dodatnia jest tylko wymieniona funkcja (w I wszystkie).
Zbiór wartości sinusa, cosinusa i tangensaSinus i cosinus: [−1, 1]. Tangens: wszystkie liczby rzeczywisteRównanie $\sin x = 2$ nie ma rozwiązań.
Rozwiązania równania $\sin x = \sin \alpha$ x = α + 2kπ lub x = π − α + 2kπ, $k \in \mathbb{Z}$ Dwie serie rozwiązań. Rozszerzenie.
Rozwiązania równania $\cos x = \cos \alpha$ x = α + 2kπ lub x = −α + 2kπ, $k \in \mathbb{Z}$ Rozszerzenie.
Rozwiązania równania $\operatorname{tg} x = \operatorname{tg} \alpha$ x = α + kπ, $k \in \mathbb{Z}$ Okres tangensa to π, więc jedna seria. Rozszerzenie.

Trójkąty i wielokąty

Suma kątów wewnętrznych n-kąta(n − 2) ⋅ 180°W n-kącie foremnym każdy kąt ma $\dfrac{(n - 2) \cdot 180^\circ}{n}$ : w sześciokącie 120°.
Liczba przekątnych n-kąta $\dfrac{n(n - 3)}{2}$
Kąt zewnętrzny trójkątaJest równy sumie dwóch kątów wewnętrznych do niego nieprzyległych
Kiedy z trzech odcinków da się zbudować trójkąt?Gdy najdłuższy jest krótszy od sumy dwóch pozostałychOdcinki 2, 3 i 5 trójkąta nie tworzą: 2 + 3 = 5.
Jak po bokach rozpoznać trójkąt rozwartokątny (c najdłuższy)?c² > a² + b²Ostrokątny: c² < a² + b². Prostokątny: równość.
Gdzie leży środek okręgu opisanego na trójkącie?W punkcie przecięcia symetralnych bokówW trójkącie prostokątnym to środek przeciwprostokątnej, w rozwartokątnym leży poza trójkątem.
Gdzie leży środek okręgu wpisanego w trójkąt?W punkcie przecięcia dwusiecznych kątówZawsze wewnątrz trójkąta.
W jakim stosunku punkt przecięcia dzieli środkowe trójkąta?2 : 1, licząc od wierzchołkaTen punkt to środek ciężkości trójkąta.
Boki trójkąta o kątach 30°, 60°, 90°a, $a\sqrt{3}$ , 2aNajkrótszy bok a leży naprzeciw kąta 30° i jest połową przeciwprostokątnej.
Boki trójkąta prostokątnego równoramiennego i przekątna kwadratu o boku aa, a, $a\sqrt{2}$ ; przekątna kwadratu to $a\sqrt{2}$
Własności wysokości opuszczonej na podstawę trójkąta równoramiennegoJest też środkową i dwusieczną kąta przy wierzchołkuKąty przy podstawie są równe.
Własności przekątnych i kątów równoległobokuPrzekątne dzielą się na połowy; sąsiednie kąty sumują się do 180°W rombie przekątne są dodatkowo prostopadłe i są dwusiecznymi kątów.
Z czego składa się sześciokąt foremny o boku a?Z sześciu trójkątów równobocznych o boku aPole $6 \cdot \dfrac{a^2\sqrt{3}}{4} = \dfrac{3a^2\sqrt{3}}{2}$ , dłuższa przekątna 2a.

Okręgi i proste

Jak styczna do okręgu leży względem promienia w punkcie styczności?Jest do niego prostopadłaDaje kąt prosty, a więc twierdzenie Pitagorasa albo a₁ ⋅ a₂ = −1 w układzie współrzędnych.
Położenie prostej względem okręgu, gdy d to odległość środka od prostejd < r: dwa punkty wspólne; d = r: styczna; d > r: brak punktów wspólnych
Kiedy dwa okręgi są styczne zewnętrznie, a kiedy wewnętrznie?Zewnętrznie: ∣S₁S₂∣ = r₁ + r₂. Wewnętrznie: ∣S₁S₂∣ = ∣r₁ − r₂∣Przecinają się w dwóch punktach, gdy ∣r₁ − r₂∣ < ∣S₁S₂∣ < r₁ + r₂.
Oś symetrii paraboli y = ax² + bx + cProsta x = p, gdzie $p = -\dfrac{b}{2a}$ Miejsca zerowe leżą symetrycznie: $p = \dfrac{x_1 + x_2}{2}$ .

Bryły

Przekątna sześcianu o krawędzi a $a\sqrt{3}$ Przekątna ściany: $a\sqrt{2}$ .
Przekątna prostopadłościanu o krawędziach a, b, c $\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$
Co znaczy „graniastosłup prawidłowy”?Graniastosłup prosty, którego podstawa jest wielokątem foremnymPrawidłowy czworokątny ma w podstawie kwadrat, trójkątny trójkąt równoboczny.
Gdzie pada spodek wysokości ostrosłupa prawidłowego?W środek okręgu opisanego na podstawieTak jest w każdym ostrosłupie, którego krawędzie boczne są równe. W kwadracie to punkt przecięcia przekątnych.
Kąt nachylenia krawędzi bocznej ostrosłupa do płaszczyzny podstawyKąt między krawędzią boczną a jej rzutem na podstawęW ostrosłupie prawidłowym czworokątnym rzut to połowa przekątnej podstawy.
Kąt nachylenia ściany bocznej ostrosłupa do płaszczyzny podstawyKąt między wysokością ściany bocznej a odcinkiem od spodka wysokości ostrosłupa do środka krawędzi podstawyTen odcinek to promień okręgu WPISANEGO w podstawę (w kwadracie połowa boku), nie połowa przekątnej.
Liczba wierzchołków, krawędzi i ścian graniastosłupa n-kątnego2n wierzchołków, 3n krawędzi, n + 2 ścianyOstrosłup n-kątny: n + 1 wierzchołków, 2n krawędzi, n + 1 ścian.
Przekrój osiowy walca i stożkaWalca: prostokąt 2r × h. Stożka: trójkąt równoramienny o podstawie 2r i ramionach l
Czym jest rozwinięta powierzchnia boczna stożka?Wycinkiem koła o promieniu równym tworzącej lDługość łuku wycinka to obwód podstawy: 2πr.

Prawdopodobieństwo i statystyka

Reguła mnożeniaGdy pierwszy wybór ma m możliwości, a drugi n, to oba razem mają m ⋅ nLiczby czterocyfrowe: 9 ⋅ 10 ⋅ 10 ⋅ 10, bo pierwsza cyfra nie może być zerem.
Kiedy liczby możliwości dodajemy, a nie mnożymy?Gdy rozpatrujemy rozłączne przypadki (albo jeden, albo drugi)Mnożymy, gdy wybory następują po sobie (i jeden, i drugi).
Kiedy zdarzenia A i B są niezależne?Gdy $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$ Zdarzenia rozłączne to co innego: wtedy $P(A \cap B) = 0$ .
Ile jest wyników przy rzucie dwiema kostkami, a ile przy rzucie n monetami?Dwie kostki: 36. n monet: 2ⁿWyniki (1, 2) i (2, 1) to dwa różne zdarzenia elementarne.
Jak liczyć prawdopodobieństwo z drzewka?Wzdłuż gałęzi mnożysz, wyniki gałęzi prowadzących do zdarzenia dodajeszPrzy losowaniu bez zwracania liczby na kolejnych gałęziach się zmieniają.
Dominanta zestawu danychWartość, która występuje najczęściejMoże być kilka dominant. Mediana i średnia są w karcie, dominanty nie ma.

Ciągi i pochodna

Jak zbadać monotoniczność ciągu (a_n)?Zbadać znak różnicy a_n+1 − a_nDodatnia dla każdego n: ciąg rosnący; ujemna: malejący.
Kiedy ciąg arytmetyczny jest rosnący?Gdy r > 0Malejący dla r < 0, stały dla r = 0.
Ciąg geometryczny o ilorazie q < 0: czy jest monotoniczny?Nie, wyrazy zmieniają znak na przemianDla a₁ > 0 i q > 1 jest rosnący, dla a₁ > 0 i 0 < q < 1 malejący.
Co mówi znak pochodnej o funkcji na przedziale?f^′(x) > 0: funkcja rosnąca; f^′(x) < 0: malejącaRozszerzenie.
Kiedy funkcja ma ekstremum w punkcie x₀?Gdy f^′(x₀) = 0 i pochodna zmienia w x₀ znakZ plusa na minus: maksimum; z minusa na plus: minimum. Samo f^′(x₀) = 0 nie wystarcza (x³ w zerze). Rozszerzenie.
Jak znaleźć największą wartość funkcji na przedziale domkniętym?Porównać wartości w ekstremach wewnątrz przedziału i na jego końcachW zadaniach optymalizacyjnych najpierw dziedzina z treści zadania. Rozszerzenie.
Granica w nieskończoności ilorazu wielomianów tego samego stopniaIloraz współczynników przy najwyższych potęgach $\lim\limits_{n \to \infty} \dfrac{3n^2 + 1}{2n^2 - n} = \dfrac{3}{2}$ . Gdy stopień licznika mniejszy, granica 0. Rozszerzenie.

Sprawdź się na prawdziwych zadaniach: zadania z matury z odpowiedziami z klucza.