Cenę podniesiono o 20%, a potem obniżono o 20%. Czy wróciła do początkowej?

Nie. Jest o 4% niższa: 1,2 0,8 = 0,96

W jednym sadzie uschło 5% drzew, w drugim 10%. Czy łącznie uschło 7,5%?

Tylko gdy sady są równe. W ogólności liczysz drzewa: 0,05x + 0,1y

Z (x - 1)(x - 2) = 2 wynika x - 1 = 2 lub x - 2 = 2?

Nie. Tak wolno tylko, gdy iloczyn równa się ZERO

Czy po podniesieniu obu stron równania do kwadratu wszystkie wyniki są dobre?

Nie zawsze. Mogą dojść rozwiązania fałszywe, trzeba je sprawdzić

Równanie logarytmiczne dało dwa wyniki. Czy oba są rozwiązaniami?

Tylko te, dla których argumenty logarytmów są dodatnie

Kiedy f(x) = (3 - m)x - 4 nie ma miejsc zerowych?

Dla m = 3: wtedy f(x) = -4 jest stała i różna od zera

Największa wartość funkcji kwadratowej na przedziale [k, l] to zawsze q z wierzchołka?

Nie. Gdy wierzchołek leży poza przedziałem, wartości największej szukasz na końcach

Miejsce zerowe funkcji to punkt (3, 0)?

Nie. Miejsce zerowe to liczba x = 3

Funkcja f(x) = 1x jest malejąca w zbiorze (- , 0) (0, + )?

Nie. Jest malejąca w KAŻDYM z tych przedziałów osobno

Puste kółko na końcu wykresu oznacza, że punkt należy do wykresu?

Nie. Puste kółko: punkt nie należy; zamalowane: należy

Czy można zapisać przedział [2, + ]?

Nie. Przy nieskończoności nawias jest zawsze okrągły: [2, + )

Może być tg = -3 dla kąta w trójkącie?

Tak, gdy kąt jest rozwarty: w drugiej ćwiartce tangens jest ujemny

Kąt nachylenia przekątnej graniastosłupa do płaszczyzny podstawy to kąt z krawędzią podstawy?

Nie. To kąt między przekątną bryły a przekątną PODSTAWY

Do objętości ostrosłupa bierzesz wysokość ściany bocznej?

Nie. Wysokość bryły, czyli odcinek od wierzchołka prostopadły do podstawy

Objętość sześcianu to 729. Przekątna to 9 2?

Nie. Krawędź 9, przekątna sześcianu 9 3

Mediana danych 7, 2, 9, 4, 5 to środkowa liczba 9?

Nie. Po uporządkowaniu (2, 4, 5, 7, 9) mediana to 5

Z równania an = 20 wyszło n = 7,5. Który to wyraz?

Żaden. Liczba 20 nie jest wyrazem tego ciągu

Pułapki na maturze z matematyki: fiszki z typowych błędów

Wszystkie karty

Potęgi, pierwiastki i procenty

Czy 2³ + 2³ = 2⁶?Nie. 2³ + 2³ = 2 ⋅ 2³ = 2⁴Wykładniki dodajesz przy MNOŻENIU potęg, nie przy dodawaniu.
Ile wynosi $\dfrac{5^{12} + 5^{13} + 5^{14}}{5^{12}}$ ?31Wyłącz najniższą potęgę: 5¹²(1 + 5 + 25). Nie skracaj wykładników „w poprzek” sumy.
Czy −3² = 9?Nie. −3² = −9, a (−3)² = 9Bez nawiasu potęga dotyczy tylko liczby 3, minus zostaje na zewnątrz.
Czy $\sqrt{a^2 + b^2} = a + b$ ?Nie. $\sqrt{9 + 16} = 5$ , a nie 7Pierwiastek rozkłada się na iloczyn ( $\sqrt{ab} = \sqrt{a}\sqrt{b}$ dla a, b ≥ 0), nie na sumę.
Ile wynosi $\left(\sqrt{32} - \sqrt{2}\right)^2$ ?18 $32 - 2\sqrt{64} + 2 = 34 - 16$ . Środkowy wyraz 2ab jest najczęściej gubiony.
Cenę podniesiono o 20%, a potem obniżono o 20%. Czy wróciła do początkowej?Nie. Jest o 4% niższa: 1,2 ⋅ 0,8 = 0,96Drugi procent liczysz od nowej, wyższej ceny.
Po obniżce o 20% towar kosztuje 80 zł. Ile kosztował przed obniżką?100 zł, bo 80 : 0,8 = 100Nie 96 zł: 20% liczono od ceny początkowej, nie od 80 zł.
W jednym sadzie uschło 5% drzew, w drugim 10%. Czy łącznie uschło 7,5%?Tylko gdy sady są równe. W ogólności liczysz drzewa: 0,05x + 0,1yProcent całości to średnia WAŻONA wielkościami grup, nie zwykła średnia procentów.
Z −2x > 6 wynika x > −3?Nie. x < −3Mnożenie i dzielenie nierówności przez liczbę ujemną zmienia jej zwrot.

Równania

Równanie x² = 3x: dzielę przez x i mam x = 3. Dobrze?Nie. Rozwiązania to 0 i 3Dzieląc przez x, gubisz x = 0. Przenieś na jedną stronę i wyłącz: x(x − 3) = 0.
Rozwiązanie równania x² = 9x = 3 lub x = −3Pierwiastek $\sqrt{9} = 3$ to jedna liczba, ale równanie ma dwa rozwiązania.
Ile rozwiązań rzeczywistych ma równanie 2x(x + 3)(x² + 25) = 0?Dwa: 0 i −3Czynnik x² + 25 jest zawsze dodatni, więc nie daje rozwiązań.
Rozwiązania równania $\dfrac{x^2 - 4}{x - 2} = 0$ Tylko x = −2x = 2 zeruje mianownik, więc nie należy do dziedziny. Dziedzinę ustal na początku.
Z (x − 1)(x − 2) = 2 wynika x − 1 = 2 lub x − 2 = 2?Nie. Tak wolno tylko, gdy iloczyn równa się ZEROWymnóż i przenieś: x² − 3x = 0, czyli x = 0 lub x = 3.
Czy po podniesieniu obu stron równania do kwadratu wszystkie wyniki są dobre?Nie zawsze. Mogą dojść rozwiązania fałszywe, trzeba je sprawdzić $\sqrt{x + 2} = x$ daje po podniesieniu x = 2 lub x = −1, a pasuje tylko 2.
Równanie logarytmiczne dało dwa wyniki. Czy oba są rozwiązaniami?Tylko te, dla których argumenty logarytmów są dodatnieSprawdź każdy wynik w dziedzinie albo ustal dziedzinę na początku.

Funkcje

Kiedy f(x) = (3 − m)x − 4 nie ma miejsc zerowych?Dla m = 3: wtedy f(x) = −4 jest stała i różna od zeraFunkcja liniowa nie ma miejsca zerowego tylko wtedy, gdy a = 0 i b ≠ 0.
Największa wartość funkcji kwadratowej na przedziale [k, l] to zawsze q z wierzchołka?Nie. Gdy wierzchołek leży poza przedziałem, wartości największej szukasz na końcachPrzy a > 0 wierzchołek daje minimum, więc maksimum jest zawsze na którymś końcu przedziału.
Parabola ma oś symetrii x = 1. Dla jakiego argumentu f(x) = f(−4)?Dla x = 6Argumenty o równych wartościach leżą symetrycznie wokół osi: $\dfrac{-4 + 6}{2} = 1$ .
Miejsce zerowe funkcji to punkt (3, 0)?Nie. Miejsce zerowe to liczba x = 3Punkt (3, 0) to punkt przecięcia wykresu z osią Ox.
Funkcja $f(x) = \dfrac{1}{x}$ jest malejąca w zbiorze $(-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$ ?Nie. Jest malejąca w KAŻDYM z tych przedziałów osobnof(−1) = −1 < f(1) = 1, choć −1 < 1. Przedziały monotoniczności zapisuj osobno.
Puste kółko na końcu wykresu oznacza, że punkt należy do wykresu?Nie. Puste kółko: punkt nie należy; zamalowane: należyDecyduje o nawiasie przy dziedzinie i zbiorze wartości: okrągły czy kwadratowy.
Czy można zapisać przedział [2, +∞]?Nie. Przy nieskończoności nawias jest zawsze okrągły: [2, +∞)

Trygonometria i geometria

$\sin \alpha = \dfrac{3}{5}$ i kąt α jest rozwarty. Ile wynosi $\cos \alpha$ ? $-\dfrac{4}{5}$ Z jedynki wychodzi $\cos^2 \alpha = \dfrac{16}{25}$ , a znak wybierasz z ćwiartki: w drugiej cosinus jest ujemny.
Może być $\operatorname{tg} \alpha = -3$ dla kąta w trójkącie?Tak, gdy kąt jest rozwarty: w drugiej ćwiartce tangens jest ujemnyUjemny wynik nie jest błędem rachunku, tylko informacją o kącie.
Ile wynosi $\sin^4 \alpha + \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha$ ? $\sin^2 \alpha$ Wyłącz $\sin^2 \alpha$ przed nawias, w nawiasie zostaje jedynka trygonometryczna.
Okrąg o środku (2, 4) przechodzi przez (0, 0). Jego równanie to $(x - 2)^2 + (y - 4)^2 = \sqrt{20}$ ?Nie. Po prawej stoi r² = 20Promień to $|SP| = \sqrt{20}$ , a w równaniu jest jego kwadrat.
Kąt nachylenia przekątnej graniastosłupa do płaszczyzny podstawy to kąt z krawędzią podstawy?Nie. To kąt między przekątną bryły a przekątną PODSTAWYRzutem przekątnej bryły na podstawę jest przekątna podstawy.
Do objętości ostrosłupa bierzesz wysokość ściany bocznej?Nie. Wysokość bryły, czyli odcinek od wierzchołka prostopadły do podstawyWysokość ściany bocznej przydaje się do pola powierzchni bocznej.
Bryłę powiększono w skali 2. Ile razy wzrosła objętość?8 razy (2³)Długości rosną k razy, pola k² razy, objętości k³ razy.
Ile centymetrów kwadratowych ma 1 m²?10 000 cm²Nie 100: przelicznik długości podnosisz do kwadratu. 1 m³ = 1 000 000 cm³.
Objętość sześcianu to 729. Przekątna to $9\sqrt{2}$ ?Nie. Krawędź 9, przekątna sześcianu $9\sqrt{3}$ $a\sqrt{2}$ to przekątna ŚCIANY.

Kombinatoryka, prawdopodobieństwo, statystyka

Ile jest liczb trzycyfrowych nieparzystych?9 ⋅ 10 ⋅ 5 = 450Pierwsza cyfra nie może być zerem (9 możliwości), ostatnia musi być nieparzysta (5).
Dwa rzuty kostką. Szansa na co najmniej jedną szóstkę to $\dfrac{2}{6}$ ?Nie. $1 - \dfrac{25}{36} = \dfrac{11}{36}$ Licząc $\dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{6}$ , dwa razy liczysz wynik (6, 6). „Co najmniej jeden” licz przez zdarzenie przeciwne.
Z 3 białych i 2 czarnych kul losujesz dwie bez zwracania. Obie białe z prawdopodobieństwem $\left(\dfrac{3}{5}\right)^2$ ?Nie. $\dfrac{3}{5} \cdot \dfrac{2}{4} = \dfrac{3}{10}$ Po pierwszym losowaniu zostaje mniej kul i mniej białych.
Mediana danych 7, 2, 9, 4, 5 to środkowa liczba 9?Nie. Po uporządkowaniu (2, 4, 5, 7, 9) mediana to 5Z tabeli liczebności szukasz pozycji środkowej, licząc wszystkie obserwacje.
Ocena 5 wystąpiła 3 razy, ocena 3 raz. Średnia to $\dfrac{5 + 3}{2} = 4$ ?Nie. $\dfrac{3 \cdot 5 + 1 \cdot 3}{4} = 4{,}5$ Z tabeli liczebności każdą wartość mnożysz przez to, ile razy wystąpiła.

Ciągi

Z równania a_n = 20 wyszło n = 7,5. Który to wyraz?Żaden. Liczba 20 nie jest wyrazem tego ciąguNumer wyrazu musi być liczbą naturalną dodatnią.
Ile wyrazów ma ciąg arytmetyczny 5, 8, 11, ..., 50?16, bo $\dfrac{50 - 5}{3} + 1 = 16$ Bez „+1” gubisz pierwszy wyraz. Pewniej: rozwiąż 5 + (n − 1) ⋅ 3 = 50.
Liczby 4, x, 9 tworzą ciąg geometryczny. Ile wynosi x?x = 6 lub x = −6Z x² = 36 są dwa rozwiązania. Odrzucasz jedno tylko, gdy treść tego żąda (np. ciąg rosnący).

Sprawdź się na prawdziwych zadaniach: zadania z matury z odpowiedziami z klucza.