Trójkąt 30 60 90 i 45 45 90: boki i wzory (matura)

Q: Jakie są boki w trójkącie 30-60-90?

W stosunku $1:\sqrt{3}:2$: krótsza przyprostokątna $a$, dłuższa $a\sqrt{3}$, przeciwprostokątna $2a$.

Zależności

Trójkąt	Krótsza przyprostokątna	Dłuższa przyprostokątna	Przeciwprostokątna
30-60-90	a (naprzeciw 30°)	$a\sqrt{3}$ (naprzeciw 60°)	2a
45-45-90	a	a	$a\sqrt{2}$

Skąd to się bierze

Trójkąt 30-60-90 to połowa trójkąta równobocznego o boku 2a: wysokość dzieli go na dwa takie trójkąty. Dlatego wysokość trójkąta równobocznego o boku a wynosi $h=\frac{a\sqrt{3}}{2}$ , a pole $P=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$ (oba wzory są w karcie CKE).

Trójkąt 45-45-90 to połowa kwadratu przeciętego przekątną, stąd przekątna kwadratu o boku a to $a\sqrt{2}$ .

Przykład

Przeciwprostokątna trójkąta 30-60-90 ma długość 10. Krótsza przyprostokątna: 5, dłuższa: $5\sqrt{3}$ .

Typowe błędy

Pomylenie, która przyprostokątna leży naprzeciw kąta 30°: to krótsza.
Mnożenie przez $\sqrt{3}$ zamiast dzielenia, gdy znana jest dłuższa przyprostokątna.

Zadania z matury

1.Zadanie 17, czerwiec 2026Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Krótsza przyprostokątna tego trójkąta ma długość A. 1 B. 2 C. 4 D.…
2.Zadanie 18, maj 2026Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Sinus kąta γ jest równy A. $\frac{1}{\sqrt{10}}$ B.…
3.Zadanie 22, maj 2026Uzupełnij zdanie. Wpisz odpowiednią liczbę w wykropkowanym miejscu, aby zdanie było prawdziwe. Bok trójkąta $\mathcal{T}$ ma…
4.Zadanie 24.1, maj 2026Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Pole trójkąta ABC jest równe A. 3 B. 5 C. 6 D. 10
5.Zadanie 24.2, maj 2026Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Środek okręgu opisanego na trójkącie ABC ma współrzędne A.…
6.Zadanie 18, czerwiec 2025Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe. Cosinus kąta…
7.Zadanie 19.1, czerwiec 2025Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Długość promienia okręgu wpisanego w ten trójkąt jest równa A.…
8.Zadanie 19.2, czerwiec 2025Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Długość promienia okręgu opisanego na tym trójkącie jest równa A.…

Zadania z arkuszy CKE z rozwiązaniem z klucza. Wykonalność to średni procent punktów zdobytych przez zdających (raporty CKE).

Najczęstsze pytania

Jakie są boki w trójkącie 30-60-90?

W stosunku $1:\sqrt{3}:2$ : krótsza przyprostokątna a, dłuższa $a\sqrt{3}$ , przeciwprostokątna 2a.

Ile wynosi przekątna kwadratu o boku a?

$a\sqrt{2}$ .

Trójkąt 30-60-90 i 45-45-90: zależności między bokami