Zacznij za darmoZacznij

Baza wiedzy · matura

Wzory skróconego mnożenia: lista, przykłady i zadania z matury

Wzory skróconego mnożenia pozwalają szybko rozwinąć albo rozłożyć na czynniki wyrażenia takie jak (a + b)2 czy a2 − b2. Wszystkie są w karcie wzorów CKE, którą dostajesz na maturze, ale te najczęstsze warto znać na pamięć.

Sprawdzone 18 października 2026

Lista wzorów

NazwaWzór
kwadrat sumy(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
kwadrat różnicy(a − b)2 = a2 − 2ab + b2
różnica kwadratówa2 − b2 = (a − b)(a + b)
sześcian sumy(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
sześcian różnicy(a − b)3 = a3 − 3a2b + 3ab2 − b3
suma sześcianówa3 + b3 = (a + b)(a2 − ab + b2)
różnica sześcianówa3 − b3 = (a − b)(a2 + ab + b2)

Karta CKE podaje też wzór ogólny an − bn = (a − b)(an−1 + an−2b + … + abn−2 + bn−1).

Przykłady

  • Rozwinięcie: (2x − 3)2 = 4x2 − 12x + 9.
  • Rozkład na czynniki: x2 − 25 = (x − 5)(x + 5).
  • Usuwanie niewymierności z mianownika: 13−1=3+1(3−1)(3+1)=3+12\frac{1}{\sqrt{3}-1}=\frac{\sqrt{3}+1}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)}=\frac{\sqrt{3}+1}{2}.
  • Szybkie liczenie w pamięci: 512 = (50 + 1)2 = 2500 + 100 + 1 = 2601.

Typowe błędy

  • (a + b)2 = a2 + b2: brakuje wyrazu 2ab. To najczęstszy błąd na maturze.
  • Znak w kwadracie różnicy: (a − b)2 ma −2ab, ale +b2.
  • Mylenie wzorów na sumę i różnicę sześcianów: w sumie sześcianów w drugim nawiasie stoi −ab.

Zadania z matury

  1. 1.Zadanie 4, czerwiec 2026Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Dla każdej liczby rzeczywistej x wartość wyrażenia x3 − 2x2 + x…
  2. 2.Zadanie 6, maj 2026Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Wartość wyrażenia x2 + 10x + 25 dla x=2−5x = \sqrt{2} - 5 jest równa…
  3. 3.Zadanie 4, maj 2025Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Dla każdej liczby rzeczywistej x wartość wyrażenia…72%wykonalność
  4. 4.Zadanie 8, maj 2025Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Dla każdej liczby rzeczywistej x różnej od (−2) oraz różnej od…60%wykonalność
  5. 5.Zadanie 8, czerwiec 2024Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Dla każdej liczby rzeczywistej x różnej od: (−1), 0 i 1,…
  6. 6.Zadanie 5, maj 2024Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Dla każdej liczby rzeczywistej a i dla każdej liczby rzeczywistej…79%wykonalność
  7. 7.Zadanie 19, czerwiec 2023Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Dla każdego kąta ostrego α wyrażenie…
  8. 8.Zadanie 7, czerwiec 2023Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Dla każdej liczby rzeczywistej x różnej od 0 i 2 wyrażenie…

Zadania z arkuszy CKE z rozwiązaniem z klucza. Wykonalność to średni procent punktów zdobytych przez zdających (raporty CKE).

Najczęstsze pytania

Czy wzory skróconego mnożenia są w karcie wzorów na maturze?

Tak, wszystkie wzory z tej strony są w broszurze CKE „Wybrane wzory matematyczne” (dział 6).

Ile jest wzorów skróconego mnożenia?

Na maturze używa się siedmiu podstawowych: kwadratu sumy i różnicy, różnicy kwadratów, sześcianu sumy i różnicy oraz sumy i różnicy sześcianów.

Czytaj dalej