Zacznij za darmoZacznij

Baza wiedzy · matura

Funkcje trygonometryczne: sinus, cosinus, tangens i tabela wartości

W trójkącie prostokątnym z kątem ostrym α, przyprostokątnymi a (naprzeciw kąta) i b (przy kącie) i przeciwprostokątną c: sin⁡α=ac\sin\alpha=\frac{a}{c}, cos⁡α=bc\cos\alpha=\frac{b}{c}, tg⁡α=ab\operatorname{tg}\alpha=\frac{a}{b}. Najważniejsze związki: jedynka trygonometryczna sin⁡2α+cos⁡2α=1\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1 i tg⁡α=sin⁡αcos⁡α\operatorname{tg}\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}.

Sprawdzone 18 października 2026

Tabela wartości

Kątsin⁡α\sin\alphacos⁡α\cos\alphatg⁡α\operatorname{tg}\alpha
0°010
30°12\frac{1}{2}32\frac{\sqrt{3}}{2}33\frac{\sqrt{3}}{3}
45°22\frac{\sqrt{2}}{2}22\frac{\sqrt{2}}{2}1
60°32\frac{\sqrt{3}}{2}12\frac{1}{2}3\sqrt{3}
90°10nie istnieje

Pełna tablica wartości dla kątów co 1° jest na ostatniej stronie karty wzorów CKE.

Wzory redukcyjne (wybrane)

  • sin⁡(90°−α)=cos⁡α\sin(90°-\alpha)=\cos\alpha, cos⁡(90°−α)=sin⁡α\cos(90°-\alpha)=\sin\alpha
  • sin⁡(180°−α)=sin⁡α\sin(180°-\alpha)=\sin\alpha, cos⁡(180°−α)=−cos⁡α\cos(180°-\alpha)=-\cos\alpha, tg⁡(180°−α)=−tg⁡α\operatorname{tg}(180°-\alpha)=-\operatorname{tg}\alpha

Wzory na kąt podwojony (poziom rozszerzony)

sin⁡2α=2sin⁡αcos⁡α\sin 2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha, cos⁡2α=cos⁡2α−sin⁡2α=2cos⁡2α−1=1−2sin⁡2α\cos 2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha=2\cos^2\alpha-1=1-2\sin^2\alpha.

Typowe błędy

  • Zamiana boków w definicji: sinus to przyprostokątna naprzeciw kąta przez przeciwprostokątną.
  • Znak cosinusa kąta rozwartego: dla 90° < α < 180° cosinus jest ujemny.
  • Liczenie tg⁡90°\operatorname{tg}90°: nie istnieje.

Zadania z matury

  1. 1.Zadanie 17, czerwiec 2026Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Krótsza przyprostokątna tego trójkąta ma długość A. 1 B. 2 C. 4 D.…
  2. 2.Zadanie 21, czerwiec 2026Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Cosinus kąta o mierze α jest równy A.…
  3. 3.Zadanie 13.2, maj 2026Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Tangens kąta o mierze α jest równy A.…
  4. 4.Zadanie 18, maj 2026Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Sinus kąta γ jest równy A. 110\frac{1}{\sqrt{10}} B.…
  5. 5.Zadanie 23, maj 2026Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Tangens kąta α jest równy A. 58\frac{5}{8} B. 83\frac{8}{3} C.…
  6. 6.Zadanie 17, czerwiec 2025Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Liczba…
  7. 7.Zadanie 18, czerwiec 2025Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe. Cosinus kąta…
  8. 8.Zadanie 17, maj 2025Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Cosinus kąta α jest równy A. 12\frac{1}{2} B.…70%wykonalność

Zadania z arkuszy CKE z rozwiązaniem z klucza. Wykonalność to średni procent punktów zdobytych przez zdających (raporty CKE).

Najczęstsze pytania

Ile wynosi sin 30°?

sin⁡30°=12\sin 30°=\frac{1}{2}. Z kolei cos⁡30°=32\cos 30°=\frac{\sqrt{3}}{2}.

Co to jest jedynka trygonometryczna?

Związek sin⁡2α+cos⁡2α=1\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1, prawdziwy dla każdego kąta α.

Czytaj dalej