Równanie kwadratowe: delta, wzory na pierwiastki (matura)

Q: Jak obliczyć deltę?

Ze wzoru $\Delta=b^2-4ac$, gdzie $a$, $b$, $c$ to współczynniki równania $ax^2+bx+c=0$.

Q: Co jeśli delta jest ujemna?

Równanie nie ma pierwiastków rzeczywistych, a parabola nie przecina osi $x$.

Równanie kwadratowe: delta i wzory na pierwiastki (matura)

Równanie kwadratowe ma postać ax² + bx + c = 0, gdzie a ≠ 0. Liczysz deltę Δ = b² − 4ac: gdy Δ > 0, są dwa pierwiastki

x_{1,2}=\frac{-b\mp\sqrt{\Delta}}{2a}

; gdy Δ = 0, jeden

x_0=\frac{-b}{2a}

; gdy Δ < 0, równanie nie ma rozwiązań rzeczywistych. Wzory są w karcie wzorów CKE.

Sprawdzone 18 października 2026

Wzory

Delta	Liczba pierwiastków	Pierwiastki
Δ > 0	dwa	$x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$ , $x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$
Δ = 0	jeden (podwójny)	$x_0=\frac{-b}{2a}$
Δ < 0	brak

Wzory Viète’a (gdy Δ ≥ 0): $x_1+x_2=-\frac{b}{a}$ , $x_1\cdot x_2=\frac{c}{a}$ .

Równania niezupełne: szybciej bez delty

ax² + bx = 0: wyłącz x przed nawias, x(ax + b) = 0, więc x = 0 albo $x=-\frac{b}{a}$ .
ax² + c = 0: przenieś c i spierwiastkuj, np. x² − 9 = 0 ⇒ x = −3 albo x = 3.
Postać iloczynowa a(x − x₁)(x − x₂) = 0 od razu daje pierwiastki.

Przykład

2x² − 3x − 2 = 0: Δ = 9 + 16 = 25, $\sqrt{\Delta}=5$ , więc $x_1=\frac{3-5}{4}=-\frac{1}{2}$ , $x_2=\frac{3+5}{4}=2$ .

Nierówność kwadratowa

Policz pierwiastki, naszkicuj parabolę (ramiona w górę dla a > 0, w dół dla a < 0) i odczytaj przedziały. Tego karta wzorów nie podpowiada, więcej w artykule o funkcji kwadratowej.

Typowe pułapki

Zgubiony minus przy b: dla x² − 6x + 5 jest b = −6, więc −b = 6.
Dzielenie przez x zamiast wyłączenia przed nawias: gubi pierwiastek x = 0.
Przy nierówności zapisanie odpowiedzi jako dwóch liczb zamiast przedziału.

Zadania z matury

Najczęstsze pytania

Jak obliczyć deltę?

Ze wzoru Δ = b² − 4ac, gdzie a, b, c to współczynniki równania ax² + bx + c = 0.

Co jeśli delta jest ujemna?

Równanie nie ma pierwiastków rzeczywistych, a parabola nie przecina osi x.