Zacznij za darmoZacznij

Baza wiedzy · matura

Funkcja kwadratowa i równanie kwadratowe: delta, postaci, wierzchołek

Funkcja kwadratowa ma postać f(x) = ax2 + bx + c, gdzie a ≠ 0. Jej wykresem jest parabola o wierzchołku W = (p, q), p=−b2ap=-\frac{b}{2a}, q=−Δ4aq=-\frac{\Delta}{4a}. Liczbę miejsc zerowych (rozwiązań równania kwadratowego) wyznacza wyróżnik Δ = b2 − 4ac.

Sprawdzone 18 października 2026

Delta i miejsca zerowe

DeltaMiejsca zerowe
Δ > 0dwa: x1=−b−Δ2ax_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}, x2=−b+Δ2ax_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}
Δ = 0jedno: x0=−b2ax_0=-\frac{b}{2a}
Δ < 0brak miejsc zerowych

Trzy postaci funkcji kwadratowej

PostaćWzórCo z niej widać
ogólnaf(x) = ax2 + bx + cpunkt przecięcia z osią y: (0, c)
kanonicznaf(x) = a(x − p)2 + qwierzchołek (p, q)
iloczynowa (gdy Δ ≥ 0)f(x) = a(x − x1)(x − x2)miejsca zerowe

Wzory Viète’a

Gdy Δ ≥ 0: x1+x2=−bax_1+x_2=-\frac{b}{a}, x1⋅x2=cax_1\cdot x_2=\frac{c}{a}.

Przykład

f(x) = x2 − 6x + 5: Δ = 36 − 20 = 16, x1 = 1, x2 = 5, wierzchołek p = 3, q = f(3) = −4. Postać kanoniczna f(x) = (x − 3)2 − 4, iloczynowa f(x) = (x − 1)(x − 5).

Typowe błędy

  • Znak przy b we wzorze na pierwiastki: we wzorze jest −b.
  • Nierówność kwadratowa bez szkicu paraboli: łatwo pomylić przedziały.
  • Gdy a < 0, ramiona paraboli są skierowane w dół i wierzchołek jest maksimum.

Zadania z matury

  1. 1.Zadanie 11, czerwiec 2026Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Liczba k jest równa A. (−11) B. (−7) C. 7 D. 11
  2. 2.Zadanie 13.1, czerwiec 2026Liczba t spełnia warunki: f(t) = f(−9) oraz t ≠ −9. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Liczba t…
  3. 3.Zadanie 13.2, czerwiec 2026Funkcja kwadratowa g jest określona za pomocą funkcji f wzorem g(x) = f(x − 5). Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź…
  4. 4.Zadanie 14, maj 2026Wyznacz wzór funkcji f w postaci ogólnej. Zapisz obliczenia.
  5. 5.Zadanie 13, czerwiec 2025Wyznacz wzór funkcji f w postaci kanonicznej. Zapisz obliczenia.
  6. 6.Zadanie 12.1, maj 2025Wyznacz wzór funkcji f w postaci kanonicznej. Zapisz obliczenia.62%wykonalność
  7. 7.Zadanie 12.2, maj 2025Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Osią symetrii wykresu funkcji f jest prosta o równaniu A. x = 3…84%wykonalność
  8. 8.Zadanie 12.3, maj 2025Funkcja g jest określona dla każdej liczby rzeczywistej x wzorem g(x) = f(x) − 3. Liczby x1 oraz x2 są różnymi…47%wykonalność

Zadania z arkuszy CKE z rozwiązaniem z klucza. Wykonalność to średni procent punktów zdobytych przez zdających (raporty CKE).

  1. 1.Zadanie 11, czerwiec 2026Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie x2 + mx + m = 0 ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste x1 oraz…
  2. 2.Zadanie 10, maj 2026Wyznacz wszystkie rzeczywiste wartości parametru m, gdzie m ≠ 0, dla których funkcja kwadratowa f określona wzorem…
  3. 3.Zadanie 12.1, maj 2026Wykaż, że pole P (wyrażone w metrach kwadratowych) trójkątnego kwietnika o podstawie długości x metrów jest określone wzorem…
  4. 4.Zadanie 5, czerwiec 2025Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie x2 + 2mx + 2m − 1 = 0 ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste…
  5. 5.Zadanie 11, maj 2025Funkcja f jest określona wzorem f(x) = (2 − m)x2 − 2(2m + 1)x + m + 8 dla każdej liczby rzeczywistej x, gdzie m jest…41%wykonalność
  6. 6.Zadanie 12, czerwiec 2024Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie (3 − m) ⋅ x2 + (m + 1) ⋅ x − (m + 1)2 = 0 ma dwa różne…

Zadania z arkuszy CKE z rozwiązaniem z klucza. Wykonalność to średni procent punktów zdobytych przez zdających (raporty CKE).

Najczęstsze pytania

Jak obliczyć deltę?

Ze wzoru Δ = b2 − 4ac dla trójmianu ax2 + bx + c.

Jak obliczyć wierzchołek paraboli?

p=−b2ap=-\frac{b}{2a}, a q=−Δ4aq=-\frac{\Delta}{4a} albo po prostu q = f(p).

Czytaj dalej