Zadanie 12.1, maj 2026: matematyka rozszerzona

Informacja do zadań 12.1–12.2

W projekcie ogrodu zaplanowano kwietnik w kształcie trójkąta równoramiennego o podstawie długości $x$ metrów nieprzekraczającej 10 metrów. Na tym kwietniku ma znajdować się fontanna w kształcie koła o średnicy 4 metrów, które ma być styczne do każdego z boków trójkątnego kwietnika (zobacz rysunek).

Zapisz zadanie

Darmowe konto pozwoli wrócić do niego później.

Polecenie

Wykaż, że pole $P$ (wyrażone w metrach kwadratowych) trójkątnego kwietnika o podstawie długości $x$ metrów jest określone wzorem

$P(x)=\frac{2x^3}{x^2-16}$

Sprawdź rozwiązanieUkryj rozwiązanieKlucz CKE i punktacja

Zanim porównasz z kluczem

Jak poszło Ci z tym zadaniem?

Wybierz ocenę: zapisze wynik i od razu oznaczy zadanie jako zrobione.

Łatwe Średnie Trudne

Zapis wymaga darmowego konta. Załóż konto

Maturownik+

Sprawdź swoje rozwiązanie

Ocena według schematu punktowania CKE, zwykle w 15–30 s

Dowiedz się, ile punktów naprawdę zdobywasz. Zrób zdjęcie kartki albo wklej odpowiedź: Maturownik+ porówna ją ze schematem punktowania, policzy punkty i wytłumaczy, gdzie i dlaczego je tracisz.

Punkty według schematu
Konkretne miejsca utraty punktów
Błędy zapisane do powtórki

Załóż konto i sprawdź odpowiedź

Odpowiedź z klucza CKE

Wykazanie wzoru $P(x)=\frac{2x^3}{x^2-16}$

Rozważmy trójkąt równoramienny

Schemat punktowania

3 pkt

poprawne przekształcenia i przeprowadzenie pełnego rozumowania.

2 pkt

spełnienie warunku do 1 punktu oraz zapisanie układu równań umożliwiającego wyznaczenie $h$ w zależności od $x$ , albo wyznaczenie $\tan(2\alpha)$ w zależności od $x$ , albo wyznaczenie zależności między

Komentarz

Promień okręgu wpisanego wynosi $r=2$ (średnica 4 m). Zdający może posługiwać się symbolem $r$ lub przyjąć $r=2$ . Jeśli przyjmie inny promień, może otrzymać co najwyżej 1 punkt.

Umiejętności w zadaniu

Cechy podobieństwa trójkątów Ćwicz podobne

ABC

o podstawie

AB

długości

x

i wysokości

CD=h

, w który wpisany jest okrąg o promieniu

r=2

. Niech

S

będzie środkiem tego okręgu,

E

punktem styczności z ramieniem

AC

,

b=|AC|

.

Korzystając z podobieństwa trójkątów $CES$ i $CDA$ : $\frac{2}{h-2}=\frac{\frac{x}{2}}{b}$

Stąd $b=\frac{x(h-2)}{4}$

Z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta $ADC$ : $b^2=(\frac{x}{2})^2+h^2$

Po rozwiązaniu otrzymujemy: $h=\frac{4x^2}{x^2-16}$

Pole trójkąta: $P=\frac{1}{2}xh=\frac{1}{2}x\cdot\frac{4x^2}{x^2-16}=\frac{2x^3}{x^2-16}$

P

a

x

.

1 pkt

zapisanie związku między $h$ i $x$ oraz jedną z wielkości: długością ramienia $b$ , długością odcinka $CE$ , długością odcinka $CS$ , albo związku $\tan\alpha=\frac{2}{\frac{x}{2}}$ .