Zadanie 11, maj 2026: matematyka rozszerzona

Polecenie

W czworokącie $ABCD$ są dane: $|AB| = 9$

Darmowe konto pozwoli wrócić do niego później.

,

|AD| = 10

oraz

|\angle BAD| = 60°

.

W ten czworokąt wpisano okrąg oraz na tym czworokącie opisano okrąg (zobacz rysunek).

Oblicz długości boków $BC$ i $CD$ oraz pole czworokąta $ABCD$ . Zapisz obliczenia.

Sprawdź rozwiązanieUkryj rozwiązanieKlucz CKE i punktacja

Zanim porównasz z kluczem

Jak poszło Ci z tym zadaniem?

Wybierz ocenę: zapisze wynik i od razu oznaczy zadanie jako zrobione.

Łatwe Średnie Trudne

Zapis wymaga darmowego konta. Załóż konto

Maturownik+

Sprawdź swoje rozwiązanie

Ocena według schematu punktowania CKE, zwykle w 15–30 s

Dowiedz się, ile punktów naprawdę zdobywasz. Zrób zdjęcie kartki albo wklej odpowiedź: Maturownik+ porówna ją ze schematem punktowania, policzy punkty i wytłumaczy, gdzie i dlaczego je tracisz.

Punkty według schematu
Konkretne miejsca utraty punktów
Błędy zapisane do powtórki

Załóż konto i sprawdź odpowiedź

Odpowiedź z klucza CKE

$|BC| = 5$ , $|CD| = 6$ , $P = 30\sqrt{3}$

Schemat punktowania

6 pkt

zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: $|BC| = 5$ i $|CD| = 6$ oraz $P = 30\sqrt{3}$

Komentarz

Jeżeli jedynym błędem jest: błędne zastosowanie twierdzenia cosinusów, błędne zastosowanie wzoru redukcyjnego, błędne zastosowanie twierdzenia o czworokącie opisanym na okręgu, błędne zastosowanie własności trójkąta o kątach 30° i 60° lub błędna interpretacja obliczonej długości boku, ale strategia jest poprawna, to może otrzymać co najwyżej 4 punkty. Jeśli zdający popełni dodatkowo błędy rachunkowe, może otrzymać co najwyżej 3 punkty.

Umiejętności w zadaniu

Czworokąty wpisane i opisane Ćwicz podobne

Dla czworokąta opisanego na okręgu: $|AB| + |CD| = |BC| + |AD|$ , czyli $9 + y = 10 + x$ , stąd $y = x + 1$ .

Dla czworokąta wpisanego w okrąg: $\angle BAD + \angle BCD = 180°$ , czyli $60° + \angle BCD = 180°$ , stąd $\angle BCD = 120°$ .

Z twierdzenia cosinusów w trójkącie $ABD$ : $d^2 = 9^2 + 10^2 - 2 \cdot 9 \cdot 10 \cdot \cos 60° = 81 + 100 - 90 = 91$ .

Z twierdzenia cosinusów w trójkącie $BCD$ : $d^2 = x^2 + (x+1)^2 - 2x(x+1)\cos 120° = x^2 + (x+1)^2 + x(x+1)$ .

Porównując: $91 = x^2 + x^2 + 2x + 1 + x^2 + x = 3x^2 + 3x + 1$ , stąd $3x^2 + 3x - 90 = 0$ , czyli $x^2 + x - 30 = 0$ . Rozwiązując: $x = 5$ (odrzucamy $x = -6$ ).

Stąd $y = 6$ .

Pole: $P = \frac{1}{2} \cdot 9 \cdot 10 \cdot \sin 60° + \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 6 \cdot \sin 120° = 45 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + 15 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 30\sqrt{3}$ .

.

5 pkt

obliczenie długości boków $BC$ oraz $CD$ : $|BC| = 5$ oraz $|CD| = 6$ .

4 pkt

zapisanie równania z jedną niewiadomą lub układu równań z dwiema niewiadomymi.

3 pkt

spełnienie wszystkich warunków określonych w kryterium za 1 punkt lub zastosowanie twierdzenia cosinusów z zapisaniem równania.

2 pkt

spełnienie dwóch spośród warunków 1)–3) określonych w kryterium za 1 punkt.

1 pkt

spełnienie jednego warunku: zastosowanie twierdzenia o czworokącie opisanym na okręgu, zapisanie równania z twierdzenia cosinusów lub zastosowanie twierdzenia o czworokącie wpisanym w okrąg i obliczenie miary kąta $BCD$ .