Zadanie 8, maj 2026: matematyka rozszerzona

Polecenie

W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym $ABCS$ podstawa $ABC$

Darmowe konto pozwoli wrócić do niego później.

jest trójkątem równobocznym. Długość okręgu opisanego na podstawie

ABC

jest równa

6\sqrt{2}\pi

, a cosinus kąta między krawędziami bocznymi

SB

i

SC

jest równy

\frac{5}{9}

.

Oblicz długość krawędzi podstawy $ABC$ oraz cosinus kąta między ścianami bocznymi $SAC$ i $SBC$ tego ostrosłupa. Zapisz obliczenia.

Sprawdź rozwiązanieUkryj rozwiązanieKlucz CKE i punktacja

Zanim porównasz z kluczem

Jak poszło Ci z tym zadaniem?

Wybierz ocenę: zapisze wynik i od razu oznaczy zadanie jako zrobione.

Łatwe Średnie Trudne

Zapis wymaga darmowego konta. Załóż konto

Maturownik+

Sprawdź swoje rozwiązanie

Ocena według schematu punktowania CKE, zwykle w 15–30 s

Dowiedz się, ile punktów naprawdę zdobywasz. Zrób zdjęcie kartki albo wklej odpowiedź: Maturownik+ porówna ją ze schematem punktowania, policzy punkty i wytłumaczy, gdzie i dlaczego je tracisz.

Punkty według schematu
Konkretne miejsca utraty punktów
Błędy zapisane do powtórki

Załóż konto i sprawdź odpowiedź

Odpowiedź z klucza CKE

Długość krawędzi podstawy: $a = 3\sqrt{6}$ . Cosinus kąta między ścianami bocznymi: $\cos\beta = \frac{5}{14}$

Schemat punktowania

4 pkt

zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: $a = 3\sqrt{6}$ oraz $\cos\beta = \frac{5}{14}$

Komentarz

Jeżeli zdający poprawnie zinterpretuje kąt między krawędziami bocznymi oraz zastosuje twierdzenie cosinusów, ale błędnie obliczy długość krawędzi podstawy lub krawędzi bocznej, traktujemy to jak spełnienie kryterium za 1 punkt. Jeżeli błędnie interpretuje kąt między ścianami bocznymi, może otrzymać co najwyżej 1 punkt. Jeżeli rozpatruje inną bryłę niż ostrosłup prawidłowy trójkątny, otrzymuje 0 punktów.

Umiejętności w zadaniu

Przekroje brył Ćwicz podobne

.

Obliczenia:

1. Promień okręgu opisanego na podstawie: $2\pi R = 6\sqrt{2}\pi$ , stąd $R = 3\sqrt{2}$ .

2. Dla trójkąta równobocznego: $\frac{a\sqrt{3}}{3} = 3\sqrt{2}$ , stąd $a = 3\sqrt{6}$ .

3. Z warunku $\cos\alpha = \frac{5}{9}$ i wzoru $\cos\alpha = 2\cos^2\left(\frac{\alpha}{2}\right) - 1$ : $\cos\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \frac{\sqrt{7}}{3}$ .

4. Wysokość ściany bocznej opuszczona z wierzchołka podstawy: $x = a\cos\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \sqrt{42}$ .

5. Zastosowanie twierdzenia cosinusów do trójkąta $ABD$ : $a^2 = 2x^2(1 - \cos\beta)$ , skąd $\cos\beta = \frac{5}{14}$ .

.

3 pkt

obliczenie wysokości $x$ ściany bocznej opuszczonej na krawędź boczną: $x = \sqrt{42}$ lub obliczenie długości krawędzi podstawy: $a = 3\sqrt{6}$ oraz zapisanie zależności między funkcjami trygonometrycznymi kątów $\alpha$ i $\beta$ , lub obliczenie cosinusa kąta $\beta$ : $\cos\beta = \frac{5}{14}$ .

2 pkt

obliczenie długości krawędzi podstawy oraz $\cos\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \frac{\sqrt{7}}{3}$ lub zapisanie odpowiednich zależności między wielkościami.

1 pkt

obliczenie długości krawędzi podstawy: $a = 3\sqrt{6}$ lub obliczenie $\cos\left(\frac{\alpha}{2}\right)$ lub $\sin\alpha$ lub zastosowanie twierdzenia cosinusów do odpowiedniego trójkąta.