Darmowe konto pozwoli wrócić do niego później.

Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia $A$ polegającego na tym, że wylosowane liczby utworzą ciąg, w którym iloczyn każdych trzech kolejnych wyrazów będzie liczbą podzielną przez $3$. Wynik podaj w postaci nieskracalnego ułamka zwykłego.

Zapisz obliczenia.

Iloczyn trzech liczb całkowitych jest podzielny przez $3$, gdy co najmniej jedna z tych liczb jest podzielna przez $3$. W zbiorze $\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}$ są dokładnie dwie liczby podzielne przez $3$: $3$ oraz $6$.

Niech ciąg $(a_1, a_2, a_3, a_4, a_5, a_6, a_7, a_8)$ będzie zdarzeniem elementarnym sprzyjającym zdarzeniu $A$. Jedna z liczb $\{3, 6\}$ znajduje się wśród wyrazów $a_1, a_2, a_3$ (bo iloczyn $a_1\cdot a_2\cdot a_3$ jest podzielny przez $3$), a druga z nich znajduje się wśród wyrazów $a_6, a_7, a_8$ (bo iloczyn $a_6\cdot a_7\cdot a_8$ jest podzielny przez $3$). Wyrazy $a_4$ oraz $a_5$ nie są podzielne przez $3$. Z tego i z warunku, że iloczyny $a_3\cdot a_4\cdot a_5$ oraz $a_4\cdot a_5\cdot a_6$ są podzielne przez $3$, wynika, że wyrazy $a_3$ oraz $a_6$ muszą być podzielne przez $3$, tj. $\{a_3, a_6\}=\{3, 6\}$.

Zdarzeniu $A$ sprzyjają tylko ciągi, których trzecim i szóstym wyrazem są liczby $3$ oraz $6$. Liczba wszystkich takich ciągów: $|A|=2\cdot 6!$.

$P(A)=\frac{|A|}{|\Omega|}=\frac{2\cdot 6!}{8!}=\frac{1}{28}$