Darmowe konto pozwoli wrócić do niego później.

Odcinek $AL$ przecina odcinki $DK$ oraz $DM$ w punktach – odpowiednio – $P$ oraz $Q$ (zobacz rysunek).

Wykaż, że $|PQ|=\frac{\sqrt{5}}{5}a$.

Kąty $\angle DAP$ oraz $\angle ALB$ są naprzemianległe i $AD\parallel BC$, więc $|\angle DAP|=|\angle ALB|=90°-\alpha$.

Zatem trójkąt $DPA$ jest prostokątny i podobny do trójkąta $DAK$. Stąd $\frac{|DP|}{|AD|}=\frac{|AP|}{|AK|}$, czyli $|DP|=\frac{|AD|}{|AK|}\cdot |AP|=2\cdot |AP|=2x$.

Z twierdzenia Pitagorasa zastosowanego do trójkąta $DAP$: $x^2+(2x)^2=a^2$, skąd $x=\frac{a}{\sqrt{5}}$.

Ponieważ kąt $DPA$ jest prosty, więc $AL\parallel KM$. Trójkąty prostokątne $DKM$ i $DPQ$ są podobne. Ponadto trójkąty $ADK$ i $BKM$ są podobne w skali $2:1$, zatem $|DK|=2\cdot |KM|$. Stąd trójkąt $DKM$ jest podobny do trójkąta $DPA$.

Wobec tego trójkąty prostokątne $DPA$ i $DPQ$ są przystające (cecha kbk). Stąd $|PQ|=|AP|=\frac{a}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}a$. Co należało wykazać.