Zadanie 12.2, maj 2026: matematyka rozszerzona

Informacja do zadań 12.1–12.2

W projekcie ogrodu zaplanowano kwietnik w kształcie trójkąta równoramiennego o podstawie długości $x$ metrów nieprzekraczającej 10 metrów. Na tym kwietniku ma znajdować się fontanna w kształcie koła o średnicy 4 metrów, które ma być styczne do każdego z boków trójkątnego kwietnika (zobacz rysunek).

Zapisz zadanie

Darmowe konto pozwoli wrócić do niego później.

Polecenie

Pole $P$ trójkątnego kwietnika o podstawie długości $x$ metrów jest określone wzorem

$P(x)=\frac{2x^3}{x^2-16}$

dla każdego $x\in(4, 10]$ .

Wyznacz długość $x$ podstawy trójkątnego kwietnika, dla której pole tego kwietnika jest najmniejsze. Oblicz to najmniejsze pole. Zapisz obliczenia.

Sprawdź rozwiązanieUkryj rozwiązanieKlucz CKE i punktacja

Zanim porównasz z kluczem

Jak poszło Ci z tym zadaniem?

Wybierz ocenę: zapisze wynik i od razu oznaczy zadanie jako zrobione.

Łatwe Średnie Trudne

Zapis wymaga darmowego konta. Załóż konto

Maturownik+

Sprawdź swoje rozwiązanie

Ocena według schematu punktowania CKE, zwykle w 15–30 s

Dowiedz się, ile punktów naprawdę zdobywasz. Zrób zdjęcie kartki albo wklej odpowiedź: Maturownik+ porówna ją ze schematem punktowania, policzy punkty i wytłumaczy, gdzie i dlaczego je tracisz.

Punkty według schematu
Konkretne miejsca utraty punktów
Błędy zapisane do powtórki

Załóż konto i sprawdź odpowiedź

Odpowiedź z klucza CKE

$x=4\sqrt{3}$ m, $P(4\sqrt{3})=12\sqrt{3}$

Schemat punktowania

4 pkt

uzasadnienie, że funkcja $P$ przyjmuje wartość najmniejszą dla $x=4\sqrt{3}$ (m), oraz obliczenie pola: $P(4\sqrt{3})=12\sqrt{3}$

Komentarz

Zdający powinien badać znak pochodnej i opisać monotoniczność funkcji lub stwierdzić, że w punkcie $x=4\sqrt{3}$ funkcja ma minimum lokalne, które jest jej najmniejszą wartością. Za niepełne uzasadnienie można przyznać co najwyżej 3 punkty. Jeśli zdający nie uzasadnia istnienia najmniejszej wartości, otrzymuje co najwyżej 2 punkty.

Umiejętności w zadaniu

m²

Wyznaczenie pochodnej: $P'(x)=\frac{6x^2(x^2-16)-2x^3\cdot 2x}{(x^2-16)^2}=\frac{2x^2(x^2-48)}{(x^2-16)^2}$

Znajdowanie miejsc zerowych pochodnej: $2x^2(x^2-48)=0$ , stąd $x=4\sqrt{3}$ (dla $x\in(4,10]$ )

Badanie znaku pochodnej: $P'(x)<0$ dla $x\in(4,4\sqrt{3})$ i $P'(x)>0$ dla $x\in(4\sqrt{3},10]$

Zatym funkcja jest malejąca w $(4,4\sqrt{3}]$ i rosnąca w $[4\sqrt{3},10]$ , więc przyjmuje wartość najmniejszą dla $x=4\sqrt{3}$

Oblichenie: $P(4\sqrt{3})=\frac{2(4\sqrt{3})^3}{(4\sqrt{3})^2-16}=\frac{2\cdot 192\sqrt{3}}{48-16}=\frac{384\sqrt{3}}{32}=12\sqrt{3}$

(m²).

3 pkt

uzasadnienie (np. poprzez badanie monotoniczności), że funkcja $P$ przyjmuje wartość najmniejszą dla $x=4\sqrt{3}$ .

2 pkt

obliczenie miejsca zerowego pochodnej: $x=4\sqrt{3}$ .

1 pkt

wyznaczenie pochodnej funkcji $P$ .