Zadanie 7, maj 2026: matematyka rozszerzona

Polecenie

Rozwiąż równanie

$\sin(6x)-2\sin(2x) = 0$

Zapisz zadanie

Darmowe konto pozwoli wrócić do niego później.

Zapisz obliczenia.

Sprawdź rozwiązanieUkryj rozwiązanieKlucz CKE i punktacja

Zanim porównasz z kluczem

Jak poszło Ci z tym zadaniem?

Wybierz ocenę: zapisze wynik i od razu oznaczy zadanie jako zrobione.

Łatwe Średnie Trudne

Zapis wymaga darmowego konta. Załóż konto

Maturownik+

Sprawdź swoje rozwiązanie

Ocena według schematu punktowania CKE, zwykle w 15–30 s

Dowiedz się, ile punktów naprawdę zdobywasz. Zrób zdjęcie kartki albo wklej odpowiedź: Maturownik+ porówna ją ze schematem punktowania, policzy punkty i wytłumaczy, gdzie i dlaczego je tracisz.

Punkty według schematu
Konkretne miejsca utraty punktów
Błędy zapisane do powtórki

Załóż konto i sprawdź odpowiedź

Odpowiedź z klucza CKE

Rozwiązania: $x=\frac{\pi k}{2}$ oraz $x=-\frac{\pi}{12}+\frac{\pi k}{2}$

Schemat punktowania

4 pkt

zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: $x=\frac{\pi k}{2}$ oraz $x=-\frac{\pi}{12}+\frac{\pi k}{2}$

Komentarz

Jeśli zdający popełni błędy nie-rachunkowe i nie zrealizuje wymagań za 1 punkt, może otrzymać co najwyżej 1 punkt. Jeśli zrealizuje wymagania za 1 punkt i rozwiąże równanie $\sin(2x)=0$ , ale popełni błędy nie-rachunkowe, otrzymuje 2 punkty. Jeśli przyjmie $u=2x$ i rozwiąże równanie $\sin(3u)-2\sin u=0$

Umiejętności w zadaniu

Równania trygonometryczne Ćwicz podobne

oraz

x=\frac{\pi}{12}+\frac{\pi k}{2}

, gdzie

k\in\mathbb{Z}

.

Zastosowanie wzoru na sinus sumy:

$\sin(4x+2x)-2\sin(2x) = 0$

$\sin(4x)\cos(2x)+\cos(4x)\sin(2x)-2\sin(2x) = 0$

$2\sin(2x)\cos^2(2x)+[2\cos^2(2x)-1]\sin(2x)-2\sin(2x) = 0$

$\sin(2x)[4\cos^2(2x)-3] = 0$

Stąd: $\sin(2x)=0$ lub $\cos^2(2x)=\frac{3}{4}$

Czyli: $\sin(2x)=0$ lub $\cos(2x)=-\frac{\sqrt{3}}{2}$ lub $\cos(2x)=\frac{\sqrt{3}}{2}$

Rozwiązanie $\sin(2x)=0$ : $2x=\pi k$ , stąd $x=\frac{\pi k}{2}$

Rozwiązanie $\cos(2x)=-\frac{\sqrt{3}}{2}$ : $2x=\frac{5\pi}{6}+2\pi k$ lub $2x=-\frac{5\pi}{6}+2\pi k$ , stąd $x=\frac{5\pi}{12}+\pi k$ lub $x=-\frac{5\pi}{12}+\pi k$

Rozwiązanie $\cos(2x)=\frac{\sqrt{3}}{2}$ : $2x=\frac{\pi}{6}+2\pi k$ lub $2x=-\frac{\pi}{6}+2\pi k$ , stąd $x=\frac{\pi}{12}+\pi k$ lub $x=-\frac{\pi}{12}+\pi k$

oraz

x=\frac{\pi}{12}+\frac{\pi k}{2}

, gdzie

k\in\mathbb{Z}

.

3 pkt

przekształcenie równania do postaci alternatywy równań trygonometrycznych (np. $\sin(2x)=0$ lub $\cos^2(2x)=\frac{3}{4}$ ) i rozwiązanie jednego z równań tej alternatywy.

2 pkt

przekształcenie równania do postaci alternatywy równań trygonometrycznych (np. $\sin(2x)=0$ lub $\cos^2(2x)=\frac{3}{4}$ ).

1 pkt

zastosowanie wzoru na sinus sumy i przekształcenie równania do postaci $\sin(4x)\cos(2x)+\cos(4x)\sin(2x)-2\sin(2x)=0$ , albo zastosowanie innego istotnego kroku.

bez dalszych postępów, otrzymuje 3 punkty.