Zadanie 3, maj 2026: matematyka rozszerzona

Polecenie

Wykaż, że dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej $x$ i dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej $y$ prawdziwa jest nierówność

Zapisz zadanie

Darmowe konto pozwoli wrócić do niego później.

$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\leq\frac{x}{y^2}+\frac{y}{x^2}$

Sprawdź rozwiązanieUkryj rozwiązanieKlucz CKE i punktacja

Zanim porównasz z kluczem

Jak poszło Ci z tym zadaniem?

Wybierz ocenę: zapisze wynik i od razu oznaczy zadanie jako zrobione.

Łatwe Średnie Trudne

Zapis wymaga darmowego konta. Załóż konto

Maturownik+

Sprawdź swoje rozwiązanie

Ocena według schematu punktowania CKE, zwykle w 15–30 s

Dowiedz się, ile punktów naprawdę zdobywasz. Zrób zdjęcie kartki albo wklej odpowiedź: Maturownik+ porówna ją ze schematem punktowania, policzy punkty i wytłumaczy, gdzie i dlaczego je tracisz.

Punkty według schematu
Konkretne miejsca utraty punktów
Błędy zapisane do powtórki

Załóż konto i sprawdź odpowiedź

Odpowiedź z klucza CKE

Z założenia $x>0$ oraz $y>0$ , więc $x^2y^2>0$

Schemat punktowania

3 pkt

poprawne przekształcenia i przeprowadzenie pełnego rozumowania: przekształcenie nierówności do postaci $(x-y)^2\geq 0$ (lub do postaci $\frac{(x-y)^2}{x^2y^2}\geq 0$

Komentarz

Jeśli zdający sprawdza prawdziwość nierówności jedynie dla wybranych wartości $x$ i $y$ , otrzymuje 0 punktów. Jeśli przekształci nierówność do postaci $(x^2-y^2)(x-y)\geq 0$

Umiejętności w zadaniu

Wzory na sumy i różnice potęg Ćwicz podobne

. Mnożymy obie strony nierówności przez

x^2y^2

i otrzymujemy

xy^2+yx^2\leq x^3+y^3

.

Stosując wzór na sumę sześcianów oraz kwadrat różnicy: $xy(x+y)\leq (x+y)(x^2-xy+y^2)$

$0\leq (x+y)(x^2-2xy+y^2)$

$0\leq (x+y)(x-y)^2$

Ponieważ $(x+y)$ jest dodatnie jako suma dwóch liczb dodatnich $x$ oraz $y$ , a ponadto $(x-y)^2$ jest nieujemne jako kwadrat liczby rzeczywistej $(x-y)$ , więc $(x+y)(x-y)^2$ jest nieujemne jako iloczyn liczby dodatniej i nieujemnej. Zatem nierówność $0\leq (x+y)(x-y)^2$ jest prawdziwa dla każdej liczby dodatniej $x$ i dla każdej liczby dodatniej $y$ . To oznacza, że dla każdej liczby dodatniej $x$ i każdej liczby dodatniej $y$ nierówność $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\leq\frac{x}{y^2}+\frac{y}{x^2}$ jest również prawdziwa. Co należało wykazać.

Alternatywnie: można stosować grupowanie, rozważać funkcję zmiennej $x$ z parametrem $y$ lub inne równoważne przekształcenia.

) i zapisanie, że kwadrat każdej liczby rzeczywistej jest nieujemny ALBO przekształcenie do postaci

(x+y)(x-y)^2\geq 0

(lub do postaci

\frac{(x+y)(x-y)^2}{x^2y^2}\geq 0

) oraz uzasadnienie, że dla liczb dodatnich nierówność jest prawdziwa ALBO obliczenie miejsca zerowego pochodnej i uzasadnienie wartości najmniejszej.

2 pkt

przekształcenie nierówności do postaci $x^2-2xy+y^2\geq 0$ (lub do postaci $\frac{x^2-2xy+y^2}{x^2y^2}\geq 0$ ) ALBO przekształcenie do postaci $(x+y)(x-y)^2\geq 0$ ALBO obliczenie miejsca zerowego pochodnej: $x=y$ .

1 pkt

przekształcenie nierówności do postaci $W(x,y)\geq 0$ (lub do postaci $\frac{W(x,y)}{x^2y^2}\geq 0$ ), gdzie $W$ jest wielomianem, np. $x^3+y^3-xy^2-x^2y\geq 0$ ALBO inne podejścia wykazujące częściowe postępy.

i uzasadni dla przypadków

x>y

oraz

x<y

, ale pominie przypadek

x=y

, otrzymuje 2 punkty.