Dowody geometryczne

MatematykaMaj 20263 pktotwartetrudne (szac.)

Zadanie 4

Wykaż, że $|PQ|=\frac{\sqrt{5}}{5}a$.

• Materiał graficzny

MatematykaCzerwiec 20263 pktotwarteśrednie (szac.)

Zadanie 5

Wykaż, że $|\angle CAK| = |\angle KDL|$.

MatematykaMaj 20254 pktotwartetrudne 29%

Zadanie 7

Wykaż, że $\frac{|CD|}{|AB|} = \frac{1}{5}$.

MatematykaCzerwiec 20253 pktotwartetrudne (szac.)

Zadanie 4

Wykaż, że stosunek pola trójkąta $MDN$ do pola trójkąta $KBL$ jest równy $16$.

• Materiał graficzny

MatematykaMaj 20233 pktotwartełatwe 75%

Zadanie 5

Wykaż, że $|ND| = \sqrt{3}+ 1$.

• Materiał graficzny

MatematykaCzerwiec 20223 pktotwartetrudne (szac.)

Zadanie 9

W trapezie $ABCD$ o podstawach $AB$ i $CD$ przez punkt $O$ przecięcia się przekątnych poprowadzono dwie proste równoległe do boków $BC$ i $AD$. Prosta równoległa do boku $BC$ przecina bok $AB$ w punkcie $B'$, a prosta równoległa do boku $AD$ przecina bok $AB$…

MatematykaMaj 20193 pktotwartetrudne 25%

Zadanie 9

Dany jest trójkąt równoramienny ABC, w którym $|AC| = |BC|$. Na ramieniu AC tego trójkąta wybrano punkt M ($M \ne A$ i $M \ne C$), a na ramieniu BC wybrano punkt N, w taki sposób, że $|AM| = |CN|$. Przez punkty M i N poprowadzono proste prostopadłe do podstawy…

MatematykaCzerwiec 20193 pktotwartetrudne (szac.)

Zadanie 8

Wykaż, że $\angle AEC = \frac{\angle ABC - \angle ADC}{2} + 360°$.

• Materiał graficzny

MatematykaMaj 20183 pktotwartetrudne 22%

Zadanie 7

Trójkąt $ABC$ jest ostrokątny oraz $BC > AC$. Dwusieczna $d_C$ kąta $ACB$ przecina bok $AB$ w punkcie $K$. Punkt $L$ jest obrazem punktu $K$ w symetrii osiowej względem dwusiecznej $d_A$ kąta $BAC$, punkt $M$ jest obrazem punktu $L$ w symetrii osiowej względem…

• Materiał graficzny

MatematykaMaj 20163 pktotwartetrudne 20%

Zadanie 8

Wykaż, że dla dowolnych dodatnich liczb rzeczywistych $x$ i $y$ takich, że $x^2 + y^2 = 2$, prawdziwa jest nierówność $x + y \leq 2$.

MatematykaMaj 20163 pktotwartetrudne 16%

Zadanie 9

Wykaż, że $MN = AD$.

• Materiał graficzny

MatematykaMaj 20153 pktotwarteśrednie 41%

Zadanie 9

Dwusieczne czworokąta $ABCD$ wpisanego w okrąg przecinają się w czterech różnych punktach: $P$, $Q$, $R$, $S$ (zobacz rysunek). Wykaż, że na czworokącie $PQRS$ można opisać okrąg.

• Materiał graficzny

MatematykaCzerwiec 20153 pktotwartetrudne (szac.)

Zadanie 9

W trójkącie ABC kąt wewnętrzny przy wierzchołku A ma miarę 50°, a kąt wewnętrzny przy wierzchołku C ma miarę 60°. Okrąg $o_1$ przechodzi przez punkt A i przecina boki AB i AC trójkąta odpowiednio w punktach D i E. Okrąg $o_2$ przechodzi przez punkt B, przecina…

• Materiał graficzny

MatematykaCzerwiec 20154 pktotwarteśrednie (szac.)

Zadanie 12

Dany jest trójkąt ABC, w którym $BC = a$. Z wierzchołka B poprowadzono środkową BD do boku AC. Punkt S jest środkiem odcinka BD. Przez punkty A i S poprowadzono prostą, która przecięła bok BC w punkcie P. Wykaż, że długość odcinka CP jest równa $\frac{2a}{3}$.

MatematykaSpecimen 20153 pktotwartetrudne (szac.)

Zadanie 10

Punkty $P_1, P_2, P_3, \ldots, P_{23}, P_{24}$ dzielą okrąg na 24 równe łuki (zobacz rysunek). Punkt $A$ jest punktem przecięcia cięciw $P_{11}P_{22}$ i $P_1P_{16}$. Udowodnij, że $|\angle P_{16}AP_{11}| = 60°$.

• Materiał graficzny