Zadanie 9, maj 2016: matematyka rozszerzona

Polecenie

Dany jest prostokąt ABCD. Okrąg wpisany w trójkąt BCD jest styczny do przekątnej BD w punkcie N. Okrąg wpisany w trójkąt ABD jest styczny do boku AD w punkcie M, a środek S tego okręgu leży na odcinku MN, jak na rysunku.

Wykaż, że $MN = AD$

Zapisz zadanie

Darmowe konto pozwoli wrócić do niego później.

.

Sprawdź rozwiązanieUkryj rozwiązanieKlucz CKE i punktacja

Zanim porównasz z kluczem

Jak poszło Ci z tym zadaniem?

Wybierz ocenę: zapisze wynik i od razu oznaczy zadanie jako zrobione.

Łatwe Średnie Trudne

Zapis wymaga darmowego konta. Załóż konto

Maturownik+

Sprawdź swoje rozwiązanie

Ocena według schematu punktowania CKE, zwykle w 15–30 s

Dowiedz się, ile punktów naprawdę zdobywasz. Zrób zdjęcie kartki albo wklej odpowiedź: Maturownik+ porówna ją ze schematem punktowania, policzy punkty i wytłumaczy, gdzie i dlaczego je tracisz.

Punkty według schematu
Konkretne miejsca utraty punktów
Błędy zapisane do powtórki

Załóż konto i sprawdź odpowiedź

Odpowiedź z klucza CKE

Wyznaczmy promienie SE i SF okręgu o środku S (punkty styczności z BD i AB odpowiednio).

Z twierdzenia o odcinkach stycznych: $DM = DE = BN$ .

Trójkąty BGN i NES są przystające (BGN i NES prostokątne, $SE = NG = r$

Schemat punktowania

1 pkt

wykazanie warunku koniecznego, np. równości $DM = DE$ , $DE = BN$ , przystania trójkątów lub podobieństwa.

2 pkt

wykazanie równości $DM = SN$

Komentarz

Akceptowane są różne podejścia: wykorzystanie przystawania trójkątów, podobieństwa, własności okręgów wpisanych w trójkąty. Ważne jest wykazanie wszystkich kluczowych równości na drodze do tezy.

Umiejętności w zadaniu

, kąty

\angle GBN = \angle ENS

).

Stąd $BN = NS$ , czyli $NS = DE = DM$ .

Zatem $MN = MS + SN = MA + DM = AD$ .

(lub równoważnej równości).

3 pkt

pełny dowód tezy $MN = AD$ .