Zadanie 11, maj 2016: matematyka rozszerzona

Polecenie

Rozwiąż nierówność $\frac{2\cos^2 x - 3}{\cos x} < 0$

Darmowe konto pozwoli wrócić do niego później.

w przedziale

\langle 0, 2\pi \rangle

.

Sprawdź rozwiązanieUkryj rozwiązanieKlucz CKE i punktacja

Zanim porównasz z kluczem

Jak poszło Ci z tym zadaniem?

Wybierz ocenę: zapisze wynik i od razu oznaczy zadanie jako zrobione.

Łatwe Średnie Trudne

Zapis wymaga darmowego konta. Załóż konto

Maturownik+

Sprawdź swoje rozwiązanie

Ocena według schematu punktowania CKE, zwykle w 15–30 s

Dowiedz się, ile punktów naprawdę zdobywasz. Zrób zdjęcie kartki albo wklej odpowiedź: Maturownik+ porówna ją ze schematem punktowania, policzy punkty i wytłumaczy, gdzie i dlaczego je tracisz.

Punkty według schematu
Konkretne miejsca utraty punktów
Błędy zapisane do powtórki

Załóż konto i sprawdź odpowiedź

Odpowiedź z klucza CKE

Niech $t = \cos x$ . Nierówność przyjmuje postać $\frac{2t^2 - 3}{t} < 0$

Schemat punktowania

1 pkt

zapisanie nierówności wymiernej względem $\cos x$ i określenie dziedziny.

2 pkt

wyznaczenie pierwiastków licznika i mianownika.

3 pkt

analiza znaku wyrażenia wymiernego.

4 pkt

wyznaczenie rozwiązania w przedziale $\langle 0, 2\pi \rangle$ .

Komentarz

Wymagane jest uwzględnienie dziedziny (gdzie $\cos x \neq 0$ ) i analiza znaku wyrażenia wymiernego. Rozwiązanie powinno być zapisane jako suma przedziałów.

Umiejętności w zadaniu

.

Część licznika: $2t^2 - 3 = 0 \Rightarrow t = \pm\sqrt{\frac{3}{2}}$ .

W przedziale $[-1, 1]$ pierwiastkami są miejsca zerowe mianownika $t = 0$ oraz miejsca, gdzie licznik zmienia znak.

Analiza znaku: wyrażenie jest ujemne gdy $t \in (-\sqrt{\frac{3}{2}}, 0) \cup (\sqrt{\frac{3}{2}}, 1)$ (w przedziale dziedziny).

Zatem: $\cos x \in (-\sqrt{\frac{3}{2}}, 0) \cup (\sqrt{\frac{3}{2}}, 1)$ jest niemożliwe (bo $\sqrt{\frac{3}{2}} > 1$ ).

Stąd: $\cos x \in (0, 1)$ , czyli $x \in (0, \frac{\pi}{2}) \cup (\frac{3\pi}{2}, 2\pi)$ .