Darmowe konto pozwoli wrócić do niego później.

Wyznacz pole trapezu ABCD w zależności od pierwszej współrzędnej wierzchołka C. Oblicz współrzędne wierzchołka C tego z rozpatrywanych trapezów, którego pole jest największe.

Pole trapezu: $P(x) = \frac{1}{2}(|AB| + |CD|) \cdot h = \frac{1}{2}(4 + 2|x|) \cdot y = (2 + |x|)y = (2 - x)(\frac{1}{2}x^2 - 2) = \frac{1}{2}x^3 - 2x - x^2 + 2$.

Upraszczając: $P(x) = \frac{1}{2}x^3 - x^2 - 2x + 2$ dla $x \in (-2, 0)$.

Początkowo poprawiam: $P(x) = (2-x)(\frac{1}{2}x^2-2)$ dla $x \in (-2,0)$.

Po rozwinięciu: $P(x) = x^2 - x^3/2 - 2x + 2$... Prawidłowo: $P(x) = (2 + |x|)\cdot(\frac{1}{2}x^2 - 2)$ dla $-2 < x < 0$ daje $P(x) = (2-x)(\frac{1}{2}x^2-2) = x^2 - \frac{1}{2}x^3 - 4 + 2x = -\frac{1}{2}x^3 + x^2 + 2x - 4$. Otrzymujemy: $P'(x) = -\frac{3}{2}x^2 + 2x + 2 = 0$, czyli $3x^2 - 4x - 4 = 0$, stąd $x = \frac{4 \pm \sqrt{16+48}}{6} = \frac{4 \pm 8}{6}$. Z tego $x = 2$ (odrzucamy) lub $x = -\frac{2}{3}$.

Dla $x = -\frac{2}{3}$: $y = \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{9} - 2 = \frac{2}{9} - 2 = -\frac{16}{9}$.

Zatem $C = (-\frac{2}{3}, -\frac{16}{9})$ maksymalizuje pole.

Pole maksymalne: $P = (2 + \frac{2}{3})(-\frac{16}{9}) = \frac{8}{3} \cdot (-\frac{16}{9})$... Obliczenie pola.