Zadanie 8, maj 2016: matematyka rozszerzona

Polecenie

Wykaż, że dla dowolnych dodatnich liczb rzeczywistych $x$ i $y$ takich, że $x^2 + y^2 = 2$

Darmowe konto pozwoli wrócić do niego później.

, prawdziwa jest nierówność

x + y \leq 2

.

Sprawdź rozwiązanieUkryj rozwiązanieKlucz CKE i punktacja

Zanim porównasz z kluczem

Jak poszło Ci z tym zadaniem?

Wybierz ocenę: zapisze wynik i od razu oznaczy zadanie jako zrobione.

Łatwe Średnie Trudne

Zapis wymaga darmowego konta. Załóż konto

Maturownik+

Sprawdź swoje rozwiązanie

Ocena według schematu punktowania CKE, zwykle w 15–30 s

Dowiedz się, ile punktów naprawdę zdobywasz. Zrób zdjęcie kartki albo wklej odpowiedź: Maturownik+ porówna ją ze schematem punktowania, policzy punkty i wytłumaczy, gdzie i dlaczego je tracisz.

Punkty według schematu
Konkretne miejsca utraty punktów
Błędy zapisane do powtórki

Załóż konto i sprawdź odpowiedź

Odpowiedź z klucza CKE

Metodą I (równoważne przekształcenia):

$(x + y)^2 \leq 4$

$x^2 + 2xy + y^2 \leq 4$

Schemat punktowania

1 pkt

uzasadnienie warunku równoważnego, np. wykazanie, że nierówność $x + y \leq 2$ jest równoważna $xy \leq 1$ (bez pełnego dowodu).

2 pkt

sprowadzenie do nierówności jednej zmiennej lub zastosowanie nierówności między średnią arytmetyczną i kwadratową bez pełnego uzasadnienia.

3 pkt

Komentarz

Akceptowane są różne podejścia: algebraiczne (przekształcenia równoważne), geometryczne (interpretacja na okręgu), lub wykorzystanie nierówności między średnimi. Ważne jest wykazanie każdego kroku.

Umiejętności w zadaniu

Dowody geometryczne Ćwicz podobne

$2 + 2xy \leq 4$

$xy \leq 1$

$x^2 y^2 \leq 1$ (obie strony dodatnie)

Z warunku $y^2 = 2 - x^2$ otrzymujemy:

$x^2(2 - x^2) \leq 1$

$2x^2 - x^4 \leq 1$

$(x^2 - 1)^2 \geq 0$ ✓

Albo metodą II (średnia arytmetyczna i kwadratowa):

$\frac{x + y}{2} \leq \sqrt{\frac{x^2 + y^2}{2}} = \sqrt{\frac{2}{2}} = 1$

Stąd $x + y \leq 2$ .

pełne rozumowanie wraz z uzasadnieniem wszystkich kroków.