Zadanie 13, maj 2016: matematyka rozszerzona

Polecenie

Punkty $A = (30, 32)$ i $B = (0, 8)$

Darmowe konto pozwoli wrócić do niego później.

są sąsiednimi wierzchołkami czworokąta ABCD wpisanego w okrąg. Prosta o równaniu

x - y + 2 = 0

jest jedyną osią symetrii tego czworokąta i zawiera przekątną AC. Oblicz współrzędne wierzchołków C i D tego czworokąta.

Sprawdź rozwiązanieUkryj rozwiązanieKlucz CKE i punktacja

Zanim porównasz z kluczem

Jak poszło Ci z tym zadaniem?

Wybierz ocenę: zapisze wynik i od razu oznaczy zadanie jako zrobione.

Łatwe Średnie Trudne

Zapis wymaga darmowego konta. Załóż konto

Maturownik+

Sprawdź swoje rozwiązanie

Ocena według schematu punktowania CKE, zwykle w 15–30 s

Dowiedz się, ile punktów naprawdę zdobywasz. Zrób zdjęcie kartki albo wklej odpowiedź: Maturownik+ porówna ją ze schematem punktowania, policzy punkty i wytłumaczy, gdzie i dlaczego je tracisz.

Punkty według schematu
Konkretne miejsca utraty punktów
Błędy zapisane do powtórki

Załóż konto i sprawdź odpowiedź

Odpowiedź z klucza CKE

Prosta AC jest osią symetrii, zatem czworokąt ABCD jest deltoidem, a trójkąty ABC i ADC są prostokątne.

Prosta BD jest prostopadła do AC i przechodzi przez B, zatem jej równanie: $y = -x + 8$ .

Punkt S przecięcia AC i BD: rozwiązując $y = x + 2$ i $y = -x + 8$

Schemat punktowania

2 pkt

wyznaczenie współrzędnych punktu D.

3 pkt

wyznaczenie współrzędnych punktu C.

Komentarz

Współrzędne C można obliczać na wiele sposobów: przez środek okręgu, twierdzenie Pitagorasa w trójkącie ABC, symetralną AB, iloczyn skalarny wektorów, równanie okręgu lub twierdzenie cosinusów.

Umiejętności w zadaniu

otrzymujemy

x = 3, y = 5

, stąd

S = (3, 5)

.

D jest obrazem B względem S, więc $D = (6, 2)$ .

Prosta CD jest prostopadła do AD. Współczynnik kierunkowy AD: $\frac{2-32}{6-30} = \frac{-30}{-24} = \frac{5}{4}$ , stąd CD ma współczynnik $-\frac{4}{5}$ .

Równanie CD: $y - 2 = -\frac{4}{5}(x - 6)$ , czyli $y = -\frac{4}{5}x + \frac{34}{5}$ .

Rozwiązując $y = x + 2$ i $y = -\frac{4}{5}x + \frac{34}{5}$ : $x + 2 = -\frac{4}{5}x + \frac{34}{5}$ , stąd $\frac{9}{5}x = \frac{24}{5}$ , czyli $x = \frac{8}{3}$ , $y = \frac{14}{3}$ .

Zatem $C = (\frac{8}{3}, \frac{14}{3})$ i $D = (6, 2)$ .