Zacznij za darmoZacznij

Baza wiedzy · matura

Pochodna funkcji: wzory i zadania z matury rozszerzonej

Pochodna opisuje, jak szybko zmienia się funkcja. Na maturze rozszerzonej służy do wyznaczania monotoniczności i ekstremów, równania stycznej i zadań optymalizacyjnych. Wzory na pochodne są w karcie wzorów CKE (dział 16).

Sprawdzone 18 października 2026

Reguły różniczkowania

RegułaWzór
stała razy funkcja[c ⋅ f(x)]′ = c ⋅ f′(x)
suma[f(x) + g(x)]′ = f′(x) + g′(x)
iloczyn[f(x) ⋅ g(x)]′ = f′(x)g(x) + f(x)g′(x)
iloraz[f(x)g(x)]′=f′(x)g(x)−f(x)g′(x)[g(x)]2\left[\frac{f(x)}{g(x)}\right]'=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{[g(x)]^2}
funkcja złożona[g(f(x))]′ = g′(f(x)) ⋅ f′(x)

Pochodne wybranych funkcji

FunkcjaPochodna
c0
ax + ba
xrr ⋅ xr−1
ax\frac{a}{x}−ax2-\frac{a}{x^2}
x\sqrt{x}12x\frac{1}{2\sqrt{x}}
sin⁡x\sin xcos⁡x\cos x
cos⁡x\cos x−sin⁡x-\sin x
exex

Równanie stycznej

Styczna do wykresu f w punkcie x0: y = f′(x0)(x − x0) + f(x0).

Ekstrema i monotoniczność

  • f′(x) > 0 na przedziale: funkcja rosnąca; f′(x) < 0: malejąca.
  • Ekstremum w x0: pochodna zeruje się i zmienia znak. Samo f′(x0) = 0 nie wystarcza (np. f(x) = x3 w zerze).

Zadania z matury

  1. 1.Zadanie 3, czerwiec 2026Funkcja f jest określona wzorem f(x)=ax2+xx−1f(x) = \frac{ax^2 + x}{x - 1} dla każdej liczby rzeczywistej x ≠ 1. Wyznacz wszystkie…
  2. 2.Zadanie 12.1, maj 2026Wykaż, że pole P (wyrażone w metrach kwadratowych) trójkątnego kwietnika o podstawie długości x metrów jest określone wzorem…
  3. 3.Zadanie 12.2, maj 2026Pole P trójkątnego kwietnika o podstawie długości x metrów jest określone wzorem P(x)=2x3x2−16P(x)=\frac{2x^3}{x^2-16} dla każdego…
  4. 4.Zadanie 11, czerwiec 2025W kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y) dany jest równoległobok ABCD o wierzchołkach A = (−8, −1) i D = (−13, 9) oraz…
  5. 5.Zadanie 8, czerwiec 2025Wielomian f zmiennej rzeczywistej x jest określony wzorem f(x) = x3 + ax2 + bx + c, gdzie a,b,c∈Ra, b, c \in \mathbb{R}. Liczba…
  6. 6.Zadanie 1, maj 2025W warunkach laboratoryjnych obserwowano dynamikę wzrostu liczebności populacji pewnego gatunku bakterii. Liczebność N populacji…77%wykonalność
  7. 7.Zadanie 3, czerwiec 2024Funkcja f jest określona wzorem f(x)=2x+1x−4f(x) = \frac{2x+1}{x-4} dla każdej liczby rzeczywistej x ≠ 4. W kartezjańskim układzie…
  8. 8.Zadanie 1, maj 2024W chwili początkowej (t = 0) filiżanka z gorącą kawą znajduje się w pokoju, a temperatura tej kawy jest równa 80 °C.…83%wykonalność

Zadania z arkuszy CKE z rozwiązaniem z klucza. Wykonalność to średni procent punktów zdobytych przez zdających (raporty CKE).

Najczęstsze pytania

Jaki jest wzór na pochodną iloczynu?

[f(x) ⋅ g(x)]′ = f′(x) ⋅ g(x) + f(x) ⋅ g′(x).

Jak napisać równanie stycznej?

y = f′(x0)(x − x0) + f(x0), gdzie x0 to pierwsza współrzędna punktu styczności.

Czytaj dalej