Zadanie 8, czerwiec 2025: matematyka rozszerzona

Polecenie

Wielomian $f$ zmiennej rzeczywistej $x$ jest określony wzorem $f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c$

Darmowe konto pozwoli wrócić do niego później.

, gdzie

a, b, c \in \mathbb{R}

. Liczba

(-2)

jest miejscem zerowym tego wielomianu. W kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

styczna do wykresu wielomianu

f

w punkcie

A

o pierwszej współrzędnej równej

(-2)

przecina ten wykres w punkcie

P = (1, 9)

.

Wyznacz wzór wielomianu $\mathbf{f}$ . Zapisz obliczenia.

Sprawdź rozwiązanieUkryj rozwiązanieKlucz CKE i punktacja

Zanim porównasz z kluczem

Jak poszło Ci z tym zadaniem?

Wybierz ocenę: zapisze wynik i od razu oznaczy zadanie jako zrobione.

Łatwe Średnie Trudne

Zapis wymaga darmowego konta. Załóż konto

Maturownik+

Sprawdź swoje rozwiązanie

Ocena według schematu punktowania CKE, zwykle w 15–30 s

Dowiedz się, ile punktów naprawdę zdobywasz. Zrób zdjęcie kartki albo wklej odpowiedź: Maturownik+ porówna ją ze schematem punktowania, policzy punkty i wytłumaczy, gdzie i dlaczego je tracisz.

Punkty według schematu
Konkretne miejsca utraty punktów
Błędy zapisane do powtórki

Załóż konto i sprawdź odpowiedź

Odpowiedź z klucza CKE

$f(x) = x^3 + 3x^2 + 3x + 2$ (lub $f(x) = (x+2)(x^2+x+1)$

Schemat punktowania

4 pkt

zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik niezależny od $a, b, c$ : $f(x) = x^3 + 3x^2 + 3x + 2$

Komentarz

Zdający może zastosować jedną z trzech metod: I) wyznaczenie współczynników bezpośrednio z trzech warunków, II) wykorzystanie postaci $f(x) = (x+2)(x^2+dx+e)$ , III) rozważenie wielomianu $h(x) = f(x) - g(x)$

Umiejętności w zadaniu

Definicja i interpretacja pochodnej Ćwicz podobne

)

Kolejne kroki rozwiązania (sposób I):

1. Współczynnik kierunkowy stycznej przez punkty $A=(-2,0)$ i $P=(1,9)$ : $\mu = \frac{9-0}{1-(-2)} = 3$

2. Z interpretacji geometrycznej pochodnej: $f'(-2) = 3$

3. $f'(x) = 3x^2 + 2ax + b$ , stąd $3 = 12 - 4a + b$ , czyli $b = 4a - 9$

4. Z warunku $f(-2) = 0$ : $-8 + 4a - 2b + c = 0$ , czyli $c = 4a - 10$

5. Z warunku $f(1) = 9$ : $9 = 1 + a + b + c = 1 + a + (4a-9) + (4a-10)$

6. Stąd $a = 3$ , $b = 3$ , $c = 2$

.

3 pkt

zapisanie równania z jedną niewiadomą $a$ wynikającego z warunków $f(-2) = 0$ , $f(1) = 9$ oraz $f'(-2) = 3$ .

2 pkt

wyznaczenie (z warunków $f'(-2) = 3$ i $f(-2) = 0$ ) $b$ oraz $c$ w zależności od $a$ : $b = 4a - 9$ i $c = 4a - 10$ .

1 pkt

obliczenie współczynnika kierunkowego stycznej: $3$ .

, gdzie

g

to styczna.