Zacznij za darmoZacznij

Baza wiedzy · matura

Wielomiany na maturze: dzielenie, schemat Hornera, pierwiastki

Wielomian to wyrażenie W(x) = anxn + … + a1x + a0. Najważniejsze narzędzie na maturze to twierdzenie Bézouta: liczba r jest pierwiastkiem wielomianu wtedy i tylko wtedy, gdy wielomian dzieli się przez (x − r). Pierwiastków całkowitych szuka się wśród dzielników wyrazu wolnego.

Sprawdzone 18 października 2026

Co trzeba umieć

  • Twierdzenie Bézouta: W(r)=0  ⟺  (x−r)W(r)=0 \iff (x-r) dzieli W(x). Reszta z dzielenia W(x) przez (x − r) jest równa W(r).
  • Pierwiastki wymierne wielomianu o współczynnikach całkowitych: pq\frac{p}{q}, gdzie p dzieli wyraz wolny, a q współczynnik przy najwyższej potędze.
  • Rozkład na czynniki: wyłączanie wspólnego czynnika, grupowanie, wzory skróconego mnożenia.
  • Schemat Hornera: szybkie dzielenie przez (x − r).
  • Krotność pierwiastka: w W(x) = (x − 2)2(x + 1) liczba 2 jest pierwiastkiem dwukrotnym.

Przykład

W(x) = x3 − 2x2 − 5x + 6. Dzielniki 6: ±1, ±2, ±3, ±6. W(1) = 0, więc W(x) = (x − 1)(x2 − x − 6) = (x − 1)(x − 3)(x + 2).

Typowe pułapki

  • Szukanie pierwiastków całkowitych spoza dzielników wyrazu wolnego.
  • Zapominanie o pierwiastku x = 0, gdy wielomian nie ma wyrazu wolnego.

Zadania z matury

  1. 1.Zadanie 8, czerwiec 2025Wielomian f zmiennej rzeczywistej x jest określony wzorem f(x) = x3 + ax2 + bx + c, gdzie a,b,c∈Ra, b, c \in \mathbb{R}. Liczba…
  2. 2.Zadanie 9, maj 2022Oblicz m i dla wyznaczonej wartości m rozwiąż nierówność W(x) ≥ 0.62%wykonalność
  3. 3.Zadanie 5, czerwiec 2021W poniższe kratki wpisz kolejno – od lewej do prawej – wartości współczynników a, b oraz c.
  4. 4.Zadanie 3, maj 2021Wielomian W(x) = x4 + 81 jest podzielny przez A. x − 3 B. x2 + 9 C. x2−32x+9x^2 - 3\sqrt{2}x + 9 D. x2+32x−9x^2 + 3\sqrt{2}x - 967%wykonalność
  5. 5.Zadanie 1, czerwiec 2020Wielomian W określony wzorem W(x) = x2019 − 3x2000 + 2x + 6 A. jest podzielny przez (x − 1) i z dzielenia przez (x + 1)…74%wykonalność
  6. 6.Zadanie 1, dodatkowa 2020Wielomian W(x) = x3 − x2 − x − 2 jest podzielny bez reszty przez wielomian A. x + 2 B. x + 1 C. x − 1 D. x − 2
  7. 7.Zadanie 3, czerwiec 2019Wiadomo, że wielomian 15x5 − 133x4 + 383x3 − 499x2 + 146x + 120 ma w zbiorze…
  8. 8.Zadanie 13, maj 2019Wielomian określony wzorem W(x) = 2x3 + (m3 + 2)x2 − 11x − 2(2m + 1) jest podzielny przez dwumian (x − 2) oraz przy…44%wykonalność

Zadania z arkuszy CKE z rozwiązaniem z klucza. Wykonalność to średni procent punktów zdobytych przez zdających (raporty CKE).

  1. 1.Zadanie 6, czerwiec 2026Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Wielomian W(x) − V(x) ⋅ H(x) jest określony wzorem A.…
  2. 2.Zadanie 9, czerwiec 2024Uzupełnij poniższe zdanie. Wpisz odpowiednią liczbę w wykropkowanym miejscu tak, aby zdanie było prawdziwe. Suma a + b + c + d…
  3. 3.Zadanie 8, maj 2024Dany jest wielomian W(x) = 3x3 + 6x2 + 9x. Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest…84%wykonalność
  4. 4.Zadanie 6, specimen 2023Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Liczba k jest równa A. 2 B. 4 C. 6 D. 8

Zadania z arkuszy CKE z rozwiązaniem z klucza. Wykonalność to średni procent punktów zdobytych przez zdających (raporty CKE).

Najczęstsze pytania

Jak znaleźć pierwiastki wielomianu?

Sprawdź dzielniki wyrazu wolnego (dla pierwiastków całkowitych), a po znalezieniu jednego podziel wielomian przez (x − r) i rozkładaj dalej.

Co mówi twierdzenie Bézouta?

Liczba r jest pierwiastkiem wielomianu W(x) wtedy i tylko wtedy, gdy W(x) dzieli się przez dwumian (x − r).

Czytaj dalej