Darmowe konto pozwoli wrócić do niego później.

Ciąg $(b_n)$, określony dla każdej liczby naturalnej $n \geq 1$, jest geometryczny i $b_1 = a_{11}$ oraz $b_2 = a_6$.

Oblicz sumę wszystkich wyrazów ciągu $(\mathbf{b_n})$. Zapisz obliczenia.

2. Z warunku $a_{15} = a_3 \cdot (a_8 - 6)$ i własności ciągu arytmetycznego: $a_6 + 9r = (a_6 - 3r)(a_6 + 2r - 6)$

3. Podstawiając $a_6 = 15$: $15 + 9r = (15 - 3r)(2r + 9)$

4. Rozwinięcie: $6r^2 + 6r - 120 = 0$, czyli $r^2 + r - 20 = 0$

5. Rozkład: $(r+5)(r-4) = 0$, więc $r = -5$ lub $r = 4$

6. Ciąg jest rosnący, zatem $r = 4$

7. $b_1 = a_{11} = a_6 + 5r = 15 + 20 = 35$, $b_2 = a_6 = 15$

8. $q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{15}{35} = \frac{3}{7}$

9. Ponieważ $|q| < 1$: $S = \frac{b_1}{1-q} = \frac{35}{1 - \frac{3}{7}} = \frac{35}{\frac{4}{7}} = \frac{245}{4}$