Zacznij za darmoZacznij

Baza wiedzy · matura

Ciąg geometryczny: wzory i zadania maturalne

Ciąg geometryczny to ciąg, w którym każdy wyraz od drugiego powstaje przez pomnożenie poprzedniego przez stały iloraz q. Najważniejsze wzory: a_n = a_1 · q^(n − 1) oraz dla q ≠ 1 S_n = a_1 · (1 − q^n)/(1 − q). Są w karcie wybranych wzorów matematycznych.

Sprawdzone 18 października 2026

Wzory

CoWzór
wyraz ogólnya_n = a_1 · q^(n − 1)
ilorazq = a_(n+1) / a_n
suma n wyrazów, q ≠ 1S_n = a_1 · (1 − q^n)/(1 − q)
suma n wyrazów, q = 1S_n = n · a_1
trzy kolejne wyrazy a, b, cb² = a · c
suma szeregu (poziom rozszerzony), gdy −1 < q < 1S = a_1 / (1 − q)

Przykład

Ciąg ma a_1 = 2 i q = 3. Wtedy a_5 = 2 · 3^4 = 162, a suma pięciu początkowych wyrazów S_5 = 2 · (1 − 243)/(1 − 3) = 242.

Typowe pułapki

  • Warunek b² = ac nie mówi o znaku b: przy a = 4 i c = 9 środkowy wyraz może wynosić 6 albo −6.
  • Dla q ujemnego ciąg nie jest monotoniczny, wyrazy zmieniają znak.
  • Wzór na sumę z dzieleniem przez (1 − q) nie działa dla q = 1.
  • Szereg geometryczny ma sumę tylko wtedy, gdy wartość bezwzględna q jest mniejsza od 1.

Zadania z matury: poziom podstawowy

  1. 1.Zadanie 16, czerwiec 2026Pięciowyrazowy ciąg (a1, a2, 2, a4, a5) jest geometryczny. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.…
  2. 2.Zadanie 15, maj 2026Oblicz k. Zapisz obliczenia.
  3. 3.Zadanie 17, maj 2026Uzupełnij zdanie. Wpisz odpowiednią liczbę w wykropkowanym miejscu, aby zdanie było prawdziwe. Iloczyn a2 ⋅ a7 jest równy…
  4. 4.Zadanie 16, czerwiec 2025Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Trzywyrazowy ciąg (4, m, m − 1) jest geometryczny, gdy liczba m…
  5. 5.Zadanie 24, czerwiec 2025Oblicz objętość tego prostopadłościanu. Zapisz obliczenia.
  6. 6.Zadanie 14.2, maj 2025Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe. 1. Ciąg…47%wykonalność
  7. 7.Zadanie 16, maj 2025Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Czwarty wyraz ciągu (an) jest równy A. 13\frac{1}{3} B. 1 C. 3…78%wykonalność
  8. 8.Zadanie 16.2, czerwiec 2024Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe. Ciąg (an)…

Zadania z arkuszy CKE z rozwiązaniem z klucza. Wykonalność to średni procent punktów zdobytych przez zdających (raporty CKE).

Zadania z matury: poziom rozszerzony

  1. 1.Zadanie 7, czerwiec 2026Nieskończony ciąg geometryczny (an) jest określony dla każdej liczby naturalnej n ≥ 1. Suma wszystkich wyrazów tego ciągu…
  2. 2.Zadanie 8, czerwiec 2026Trzywyrazowy ciąg (x, y, z) jest geometryczny. Jeżeli w tym ciągu pomniejszymy trzeci wyraz o 4, a pozostałe wyrazy…
  3. 3.Zadanie 6, maj 2026Dany jest ciąg arytmetyczny (an) o skończonej liczbie wyrazów. Liczba wyrazów tego ciągu jest większa od 6. Pierwszy wyraz tego…
  4. 4.Zadanie 9, czerwiec 2025Ciąg (an), określony dla każdej liczby naturalnej n ≥ 1, jest arytmetyczny i rosnący. W tym ciągu a6 = 15 oraz…
  5. 5.Zadanie 6, maj 2025Ciąg (an), określony dla każdej liczby naturalnej n ≥ 1, jest geometryczny i zbieżny. W tym ciągu a1 + a3 = 20 i…46%wykonalność
  6. 6.Zadanie 7, czerwiec 2024Nieskończony ciąg geometryczny (an) jest określony dla każdej liczby naturalnej n ≥ 1. Suma wszystkich wyrazów ciągu…

Zadania z arkuszy CKE z rozwiązaniem z klucza. Wykonalność to średni procent punktów zdobytych przez zdających (raporty CKE).

Najczęstsze pytania

Jaki jest wzór na n-ty wyraz ciągu geometrycznego?

a_n = a_1 · q^(n − 1), gdzie a_1 to pierwszy wyraz, a q iloraz ciągu.

Jak sprawdzić, czy trzy liczby tworzą ciąg geometryczny?

Kwadrat środkowej liczby musi być równy iloczynowi pozostałych: b² = a · c.

Czytaj dalej