Darmowe konto pozwoli wrócić do niego później.

Suma wszystkich wyrazów tego ciągu jest równa $14$. Suma sześcianów wszystkich wyrazów ciągu $(a_n)$ jest równa $392$.

Wyznacz wzór ogólny na $n$-ty wyraz ciągu $(a_n)$. Zapisz obliczenia.

Rozwiązanie:

Niech $q$ oznacza iloraz ciągu. Z warunku $|q| < 1$ i sumy wyrazów:

$\frac{a_1}{1-q} = 14$, stąd $a_1 = 14(1-q)$

Ciąg sześcianów ma pierwszy wyraz $a_1^3$ i iloraz $q^3$:

$\frac{a_1^3}{1-q^3} = 392$

Z $a_1 = 14(1-q)$:

$\frac{14^3(1-q)^3}{1-q^3} = 392$

$\frac{2744(1-q)^3}{(1-q)(1+q+q^2)} = 392$

$\frac{2744(1-q)^2}{1+q+q^2} = 392$

$7(1-q)^2 = 1 + q + q^2$

$7(1-2q+q^2) = 1 + q + q^2$

$7 - 14q + 7q^2 = 1 + q + q^2$

$6q^2 - 15q + 6 = 0$

$q = \frac{1}{2}$ lub $q = 2$

Po uwzględnieniu warunku $|q| < 1$: $q = \frac{1}{2}$

$a_1 = 14(1 - \frac{1}{2}) = 7$

Wzór: $a_n = 7 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}$