Zadanie 10, czerwiec 2026: matematyka rozszerzona

Polecenie

Rozwiąż równanie

$\sin x + \sin(2x) - \cos x = \frac{1}{2}$

Zapisz zadanie

Darmowe konto pozwoli wrócić do niego później.

Zapisz obliczenia.

Sprawdź rozwiązanieUkryj rozwiązanieKlucz CKE i punktacja

Zanim porównasz z kluczem

Jak poszło Ci z tym zadaniem?

Wybierz ocenę: zapisze wynik i od razu oznaczy zadanie jako zrobione.

Łatwe Średnie Trudne

Zapis wymaga darmowego konta. Załóż konto

Maturownik+

Sprawdź swoje rozwiązanie

Ocena według schematu punktowania CKE, zwykle w 15–30 s

Dowiedz się, ile punktów naprawdę zdobywasz. Zrób zdjęcie kartki albo wklej odpowiedź: Maturownik+ porówna ją ze schematem punktowania, policzy punkty i wytłumaczy, gdzie i dlaczego je tracisz.

Punkty według schematu
Konkretne miejsca utraty punktów
Błędy zapisane do powtórki

Załóż konto i sprawdź odpowiedź

Odpowiedź z klucza CKE

Rozwiązania: $x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k$ oraz $x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k$

Schemat punktowania

4 pkt

zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: $\frac{\pi}{6} + 2\pi k$ oraz $\frac{5\pi}{6} + 2\pi k$

Umiejętności w zadaniu

Równania trygonometryczne Ćwicz podobne

oraz

x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k

oraz

x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi k

, gdzie

k \in \mathbb{Z}

.

Zastosowanie wzoru na sinus podwojonego argumentu: $\sin(2x) = 2\sin x \cos x$ .

Równanie przyjmuje postać: $\sin x + 2\sin x \cos x - \cos x = \frac{1}{2}$ .

Przekształcenie: $\sin x(1 + 2\cos x) - \cos x = \frac{1}{2}$ .

Alternacyjnie, grupowanie wyrazów prowadzi do postaci: $\sin x + \cos x(2\sin x - 1) = \frac{1}{2}$ .

Rozwiązanie rozkładem daje alternatywę: $\sin x = \frac{1}{2}$ lub $\cos x = -\frac{1}{2}$ .

Z pierwszego równania: $x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k$ lub $x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k$ , gdzie $k \in \mathbb{Z}$ .

Z drugiego równania: $x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$ lub $x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi k$ , gdzie $k \in \mathbb{Z}$ .

oraz

\frac{2\pi}{3} + 2\pi k

oraz

-\frac{2\pi}{3} + 2\pi k

, gdzie

k \in \mathbb{Z}

.

3 pkt

rozwiązanie równania $\sin x = \frac{1}{2}$ w zbiorze $\mathbb{R}$ , np. $x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k$ oraz $x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k$ , gdzie $k \in \mathbb{Z}$ ALBO rozwiązanie równania $\cos x = -\frac{1}{2}$ w zbiorze $\mathbb{R}$ , np. $x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$ oraz $x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi k$ , gdzie $k \in \mathbb{Z}$ .

2 pkt

przekształcenie równania do postaci alternatywy dwóch elementarnych równań trygonometrycznych: $\sin x = \frac{1}{2}$ lub $\cos x = -\frac{1}{2}$ .

1 pkt

zastosowanie wzoru na sinus podwojonego argumentu i zapisanie równania w postaci $\sin x + 2\sin x \cos x - \cos x = \frac{1}{2}$ .

0 pkt

rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.