Ocena według schematu punktowania CKE, zwykle w 15–30 s
Dowiedz się, ile punktów naprawdę zdobywasz. Zrób zdjęcie kartki albo wklej odpowiedź: Maturownik+ porówna ją ze schematem punktowania, policzy punkty i wytłumaczy, gdzie i dlaczego je tracisz.
Wszystkie składniki sumy (x−y)2+(x−1)2+(y−1)2 są nieujemne jako kwadraty liczb rzeczywistych, więc nierówność 0≤(x−y)2+(x−1)2+(y−1)2 jest prawdziwa dla każdej liczby rzeczywistej x i dla każdej liczby rzeczywistej y. Zatem nierówność xy+x+y≤x2+y2+1 jest również prawdziwa dla każdej liczby rzeczywistej x i dla każdej liczby rzeczywistej y.
Sposób II: Przekształcamy nierówność równoważnie i otrzymujemy:
xy+x+y≤x2+y2+1
0≤x2−(y+1)x+(y2−y+1)
Wyróżnik Δ trójmianu x2−(y+1)x+(y2−y+1) zmiennej x jest równy
Δ=(y+1)2−4(y2−y+1)=−3y2+6y−3=−3(y−1)2
Wyróżnik jest niedodatni jako iloczyn liczby ujemnej i liczby nieujemnej (y−1)2. Ponadto współczynnik przy x2 jest dodatni, więc trójmian x2−(y+1)x+(y2−y+1) przyjmuje tylko wartości nieujemne. Zatem nierówność 0≤x2−(y+1)x+(y2−y+1) jest prawdziwa dla każdej liczby rzeczywistej x i dla każdej liczby rzeczywistej y, więc również nierówność xy+x+y≤x2+y2+1 jest prawdziwa dla każdej liczby rzeczywistej x i dla każdej liczby rzeczywistej y.
Sposób III: Przekształcamy nierówność równoważnie i otrzymujemy:
xy+x+y≤x2+y2+1
0≤x2+y2−2xy+xy−x−y+1
0≤(x−y)2+x(y−1)−(y−1)
0≤(x−y)2+(x−1)(y−1)
0≤[(x−1)−(y−1)]2+(x−1)(y−1)
0≤(x−1)2−2(x−1)(y−1)+(y−1)2+(x−1)(y−1)
0≤(x−1)2−(x−1)(y−1)+(y−1)2
Tę nierówność możemy równoważnie zapisać w postaci
0≤a2−ab+b2
gdzie a=x−1 oraz b=y−1. Zauważmy teraz, że a2−ab+b2=(a−21b)2+43b2.
Ponieważ kwadrat każdej liczby rzeczywistej jest liczbą nieujemną, więc (a−21b)2≥0 oraz 43b2≥0. Zatem suma (a−21b)2+43b2 jest nieujemna jako suma liczb nieujemnych. To oznacza, że nierówność 0≤a2−ab+b2 jest prawdziwa dla każdej liczby rzeczywistej a i każdej liczby rzeczywistej b. Tym samym nierówność xy+x+y≤x2+y2+1 jest również prawdziwa dla każdej liczby rzeczywistej x i dla każdej liczby rzeczywistej y.
(dla sposobu I) ALBO przekształcenie nierówności do postaci uporządkowanej nierówności kwadratowej ze względu na niewiadomą
x
(lub niewiadomą
y
) oraz wyznaczenie i przeprowadzenie analizy znaku wyróżnika odpowiedniego trójmianu kwadratowego, np. poprzez zapisanie wyróżnika w postaci, z której można bezpośrednio wnioskować o jego znaku, lub poprzez naszkicowanie poprawnego wykresu trójmianu
−3y2+6y−3
(dla sposobu II) ALBO przekształcenie nierówności do postaci
0≤(x−1)2−(x−1)(y−1)+(y−1)2
(dla sposobu III).
1 pkt
pomnożenie obu stron nierówności przez 2 i przekształcenie nierówności do postaci, w której występuje co najmniej jeden z następujących kwadratów: (x−y)2 lub (x−1)2, lub (y−1)2, np. (x−y)2+x2+y2−2x−2y+2≥0 (dla sposobu I) ALBO przekształcenie nierówności do postaci uporządkowanej nierówności kwadratowej ze względu na niewiadomą x (lub niewiadomą y) oraz wyznaczenie wyróżnika odpowiedniego trójmianu kwadratowego, np. 0≤x2−(y+1)x+(y2−y+1) oraz Δ=−3y2+6y−3 (dla sposobu II) ALBO przekształcenie nierówności do postaci 0≤[(x−1)−(y−1)]2+(x−1)(y−1) (dla sposobu III).