Zadanie 13.2, czerwiec 2026: matematyka rozszerzona

Polecenie

Pole $P$ trójkąta $ABC$

Darmowe konto pozwoli wrócić do niego później.

w zależności od współczynnika kierunkowego

a

prostej

AB

jest określone wzorem

$P(a) = \frac{-a^2 + 4a - 4}{2a}$

dla $a < 0$ .

Wyznacz równanie prostej zawierającej przeciwprostokątną $AB$ tego z rozważanych trójkątów, który ma najmniejsze pole. Zapisz obliczenia.

Sprawdź rozwiązanieUkryj rozwiązanieKlucz CKE i punktacja

Zanim porównasz z kluczem

Jak poszło Ci z tym zadaniem?

Wybierz ocenę: zapisze wynik i od razu oznaczy zadanie jako zrobione.

Łatwe Średnie Trudne

Zapis wymaga darmowego konta. Załóż konto

Maturownik+

Sprawdź swoje rozwiązanie

Ocena według schematu punktowania CKE, zwykle w 15–30 s

Dowiedz się, ile punktów naprawdę zdobywasz. Zrób zdjęcie kartki albo wklej odpowiedź: Maturownik+ porówna ją ze schematem punktowania, policzy punkty i wytłumaczy, gdzie i dlaczego je tracisz.

Punkty według schematu
Konkretne miejsca utraty punktów
Błędy zapisane do powtórki

Załóż konto i sprawdź odpowiedź

Odpowiedź z klucza CKE

Wyznaczamy pochodną funkcji $P$ :

$P'(a) = \frac{(-2a + 4) \cdot 2a - (-a^2 + 4a - 4) \cdot 2}{(2a)^2}$

Schemat punktowania

4 pkt

uzasadnienie, że funkcja $P$ przyjmuje wartość najmniejszą dla $a = -2$ oraz wyznaczenie równania prostej zawierającej przeciwprostokątną $AB$ tego z trójkątów, który ma najmniejsze pole, np. $y = -2x + 4$

Komentarz

Jeżeli zdający wyznacza pochodną ilorazu jako iloraz pochodnych, otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie. Za poprawne uzasadnienie, że rozważana funkcja osiąga wartość najmniejszą, można uznać badanie znaku pochodnej z opisem monotoniczności, wykazaniem, że jest to jedyne minimum, lub zbadaniem drugiej pochodnej. Niepełne uzasadnienie daje co najwyżej 3 punkty. Brak uzasadnienia istnienia najmniejszej wartości daje co najwyżej 2 punkty.

Umiejętności w zadaniu

$P'(a) = \frac{-2a^2 + 8}{(2a)^2}$

dla $a < 0$ .

Obliczamy miejsca zerowe pochodnej funkcji $P$ :

$P'(a) = 0$

$-2a^2 + 8 = 0$

$a = 2 \notin (-\infty, 0)$ lub $a = -2 \in (-\infty, 0)$

Badamy znak pochodnej:

$P'(a) < 0$ dla $a \in (-\infty, -2)$ oraz $P'(a) > 0$ dla $a \in (-2, 0)$ .

Zatem funkcja $P$ jest malejąca w przedziale $(-\infty, -2]$ i rosnąca w przedziale $[-2, 0)$ .

Stąd funkcja $P$ osiąga wartość najmniejszą dla $a = -2$ .

Wtedy prosta $AB$ ma równanie $y = -2(x - 1) + 2$ , czyli $y = -2x + 4$ .

Alternatywa (średnia geometryczna i arytmetyczna): $P(a) = -\frac{a}{2} - \frac{2}{a} + 2$ . Dla $a < 0$ liczby $(-\frac{a}{2})$ i $(-\frac{2}{a})$ są dodatnie. Z nierówności między średnimi: $\frac{(-\frac{a}{2}) + (-\frac{2}{a})}{2} \ge \sqrt{(-\frac{a}{2}) \cdot (-\frac{2}{a})}$ , stąd $-\frac{a}{2} - \frac{2}{a} \ge 2$ , czyli $P(a) \ge 4$ . Równość zachodzi dla $-\frac{a}{2} = -\frac{2}{a}$ i $a < 0$ , czyli $a = -2$ . Równanie prostej: $y = -2x + 4$ .

.

3 pkt

uzasadnienie (np. poprzez badanie monotoniczności funkcji), że funkcja $P$ przyjmuje wartość najmniejszą dla $a = -2$ albo przekształcenie nierówności między średnimi do postaci $(-\frac{a}{2}) + (-\frac{2}{a}) + 2 \ge 4$ oraz zapisanie, że równość zachodzi tylko wtedy, gdy liczby dodatnie $(-\frac{a}{2})$ oraz $(-\frac{2}{a})$ są równe.

2 pkt

obliczenie miejsca zerowego pochodnej funkcji $P$ : $a = -2$ albo obliczenie wartości $a$ , dla której zachodzi równość średniej arytmetycznej i geometrycznej liczb dodatnich $(-\frac{a}{2})$ oraz $(-\frac{2}{a})$ : $a = -2$ , albo przekształcenie nierówności między średnimi do postaci $(-\frac{a}{2}) + (-\frac{2}{a}) + 2 \ge 4$ .

1 pkt

wyznaczenie pochodnej funkcji $P$ , np. $P'(a) = \frac{(-2a + 4) \cdot 2a - (-a^2 + 4a - 4) \cdot 2}{(2a)^2}$ albo zapisanie nierówności między średnią arytmetyczną a geometryczną liczb $(-\frac{a}{2})$ oraz $(-\frac{2}{a})$ : $\frac{(-\frac{a}{2}) + (-\frac{2}{a})}{2} \ge \sqrt{(-\frac{a}{2}) \cdot (-\frac{2}{a})}$ .

0 pkt

rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.