Zadanie 9, czerwiec 2026: matematyka rozszerzona

Polecenie

Pole czworokąta $ABCD$ wpisanego w okrąg jest równe $18$

Darmowe konto pozwoli wrócić do niego później.

. Boki

AB

i

BC

są prostopadłe, a ponadto

|AB| = 4

oraz

|BC| = 7

.

Oblicz obwód tego czworokąta. Zapisz obliczenia.

Sprawdź rozwiązanieUkryj rozwiązanieKlucz CKE i punktacja

Zanim porównasz z kluczem

Jak poszło Ci z tym zadaniem?

Wybierz ocenę: zapisze wynik i od razu oznaczy zadanie jako zrobione.

Łatwe Średnie Trudne

Zapis wymaga darmowego konta. Załóż konto

Maturownik+

Sprawdź swoje rozwiązanie

Ocena według schematu punktowania CKE, zwykle w 15–30 s

Dowiedz się, ile punktów naprawdę zdobywasz. Zrób zdjęcie kartki albo wklej odpowiedź: Maturownik+ porówna ją ze schematem punktowania, policzy punkty i wytłumaczy, gdzie i dlaczego je tracisz.

Punkty według schematu
Konkretne miejsca utraty punktów
Błędy zapisane do powtórki

Załóż konto i sprawdź odpowiedź

Odpowiedź z klucza CKE

Obwód czworokąta jest równy $20$ .

Ponieważ czworokąt $ABCD$ jest wpisany w okrąg i boki $AB$ oraz $BC$ są prostopadłe, trójkąt $ABC$

Schemat punktowania

4 pkt

zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: $20$ .

3 pkt

zapisanie równania z jedną niewiadomą (długością jednej z przyprostokątnych trójkąta $ACD$ ), np. $c^2 + (8/c)^2 = 65$

Komentarz

Jeżeli zdający uzyska tylko jeden czworokąt $ABCD$ spełniający warunki zadania i nie skomentuje, że drugi czworokąt spełniający warunki zadania różni się tylko permutacją długości boków $AD$ i $CD$ , to może otrzymać co najwyżej $3$ punkty za całe rozwiązanie.

Umiejętności w zadaniu

Czworokąty wpisane i opisane Ćwicz podobne

jest prostokątny, a odcinek

AC

jest średnicą okręgu.

Pole trójkąta $ABC$ to $\frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 7 = 14$ .

Pole trójkąta $ACD$ to $18 - 14 = 4$ .

Z twierdzenia Pitagorasa: $|AC|^2 = 4^2 + 7^2 = 65$ , czyli $|AC| = \sqrt{65}$ .

Ponieważ $AC$ jest średnicą, trójkąt $ACD$ jest prostokątny.

Niech $|CD| = c$ i $|AD| = d$ . Wówczas $\frac{1}{2}cd = 4$ , czyli $cd = 8$ .

Z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta $ACD$ : $c^2 + d^2 = 65$ .

Stąd $(c+d)^2 = c^2 + d^2 + 2cd = 65 + 16 = 81$ , więc $c + d = 9$ .

Rozwiązując układ: $c(9-c) = 8$ , czyli $c^2 - 9c + 8 = 0$ . Otrzymujemy $c = 1$ lub $c = 8$ .

W obu przypadkach obwód wynosi $L = 4 + 7 + 1 + 8 = 20$ .

ALBO zapisanie równania

(c+d)^2 = 81

ALBO obliczenie długości odcinków

AE

oraz

EC

(dla jednego przypadku):

1/\sqrt{65}

i

64/\sqrt{65}

.

2 pkt

zapisanie układu równań niezależnych z dwiema niewiadomymi $c$ i $d$ , np. $\frac{1}{2}cd = 4$ oraz $c^2 + d^2 = (\sqrt{65})^2$ ALBO zapisanie równania z jedną niewiadomą (długością odcinka $AE$ lub $EC$ ).

1 pkt

obliczenie pola trójkąta $ACD$ i zapisanie, że trójkąt $ACD$ jest prostokątny.

0 pkt

rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.