Darmowe konto pozwoli wrócić do niego później.

ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste $x_1$ oraz $x_2$ spełniające warunek

$x_1^4 + x_2^4 + 4 \cdot x_1^3 \cdot x_2^3 \geq 3$

Zapisz obliczenia.

Etap 2: Wyznacz wartości $m$ spełniające warunek $x_1^4 + x_2^4 + 4 \cdot x_1^3 \cdot x_2^3 \geq 3$:

Stosujesz wzory Viète'a: $x_1 + x_2 = -m$, $x_1 \cdot x_2 = m$

Przekształć: $[(x_1 + x_2)^2 - 2 \cdot x_1 \cdot x_2]^2 - 2(x_1 \cdot x_2)^2 + 4(x_1 \cdot x_2)^3 \geq 3$

$[(-m)^2 - 2m]^2 - 2m^2 + 4m^3 \geq 3$

$[m^2 - 2m]^2 - 2m^2 + 4m^3 \geq 3$

$m^4 - 4m^3 + 4m^2 - 2m^2 + 4m^3 \geq 3$

$m^4 + 2m^2 \geq 3$

$m^4 + 2m^2 - 3 \geq 0$

$(m^2 - 1)(m^2 + 3) \geq 0$

Ponieważ $m^2 + 3 > 0$: $m^2 - 1 \geq 0 \Rightarrow m \in (-\infty, -1] \cup [1, +\infty)$ — 3 pkt

Etap 3: Wyznacz część wspólną obu warunków:

$m \in ((-\infty, 0) \cup (4, +\infty)) \cap ((-\infty, -1] \cup [1, +\infty)) = (-\infty, -1] \cup (4, +\infty)$ — 1 pkt