Darmowe konto pozwoli wrócić do niego później.

Oblicz sumę wszystkich wyrazów tego ciągu. Rozważ wszystkie przypadki. Zapisz obliczenia.

Zatem $a_1^2 + a_3^2 = a_1^2 + a_1^2 q^4 = a_1^2(1 + q^4) = 328$.

Z pierwszego warunku: $a_1 = \frac{20}{1 + q^2}$

Podsławiając do drugiego: $\frac{400}{(1 + q^2)^2}(1 + q^4) = 328$

$400(1 + q^4) = 328(1 + q^2)^2$

$400 + 400q^4 = 328(1 + 2q^2 + q^4)$

$400 + 400q^4 = 328 + 656q^2 + 328q^4$

$72q^4 - 656q^2 + 72 = 0$

$9q^4 - 82q^2 + 9 = 0$

Niech $t = q^2$: $9t^2 - 82t + 9 = 0$

Delta: $\Delta = 82^2 - 4 \cdot 9 \cdot 9 = 6724 - 324 = 6400 = 80^2$

$t = \frac{82 \pm 80}{18}$, czyli $t = 9$ lub $t = \frac{1}{9}$

Stąd $q^2 = 9$ (czyli $q = \pm 3$) lub $q^2 = \frac{1}{9}$ (czyli $q = \pm \frac{1}{3}$)

Ciąg jest zbieżny, zatem $|q| < 1$, czyli $q = -\frac{1}{3}$ lub $q = \frac{1}{3}$.

Przypadek 1: $q = \frac{1}{3}$

$a_1 = \frac{20}{1 + \frac{1}{9}} = \frac{20 \cdot 9}{10} = 18$

$S = \frac{a_1}{1 - q} = \frac{18}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{18}{\frac{2}{3}} = 27$ (niepoprawnie w kluczy: odpowiedź to 25)

Weryfikacja: $a_1 + a_3 = 18 + 18 \cdot \frac{1}{9} = 18 + 2 = 20$ ✓

$a_1^2 + a_3^2 = 324 + 4 = 328$ ✓

Przypadek 2: $q = -\frac{1}{3}$

$a_1 = \frac{20}{1 + \frac{1}{9}} = 18$

$S = \frac{a_1}{1 - q} = \frac{18}{1 + \frac{1}{3}} = \frac{18}{\frac{4}{3}} = \frac{18 \cdot 3}{4} = \frac{27}{2}$ (niepoprawnie w kluczu)

Weryfikacja: $a_1 + a_3 = 18 - 2 = 16$ ✗

Zatem powiedno $q = 3$ i $q = -3$ nie spełniają warunku zbieżności, ale:

Dla $q = 3$: $a_1 = \frac{20}{1 + 9} = 2$, nie zbieżny

Dla $q = -3$: $a_1 = 2$, nie zbieżny

Dla $q = \frac{1}{3}$: $a_1 = 18$, $S = 27$

Dla $q = -\frac{1}{3}$: $a_1 = 18$, sprawdzenie: $18 + 18 \cdot \frac{1}{9} \cdot (-1) = 18 - 2 = 16 \ne 20$

Rozbieżności w kluczu. Prawidłowo: $q = \frac{1}{3}, a_1 = 18, S = 27$ lub możliwe inne wartości przy innym rozwiązaniu układu.