Darmowe konto pozwoli wrócić do niego później.

do każdej liczby rzeczywistej $x$, gdzie $m$ jest liczbą rzeczywistą różną od $2$.

Wyznacz wszystkie wartości parametru $m$, dla których funkcja $f$ ma dokładnie dwa miejsca zerowe $x_1$ oraz $x_2$ tego samego znaku, które spełniają warunek

$(x_1 - x_2)^2 \le 180$

Zapisz obliczenia.

$16m^2 + 16m + 4 + 4m^2 + 24m - 64 > 0$

$20m^2 + 40m - 60 > 0$

$20(m - 1)(m + 3) > 0$

$m \in (-\infty, -3) \cup (1, +\infty)$

Etap 2: Wyznaczenie wartości $m$ dla których pierwiastkami są tego samego znaku ($x_1 \cdot x_2 > 0$):

$\frac{m + 8}{2 - m} > 0$

$(m + 8)(2 - m) > 0$ i $m \neq 2$

$m \in (-8, 2)$

Etap 3: Rozwiązanie warunku $(x_1 - x_2)^2 \le 180$:

$(x_1 - x_2)^2 = (x_1 + x_2)^2 - 4x_1 x_2 \le 180$

$\left[\frac{-2(2m + 1)}{2 - m}\right]^2 - 4 \cdot \frac{m + 8}{2 - m} \le 180$

$\frac{16m^2 + 16m + 4}{(m - 2)^2} + \frac{4(m + 8)(m - 2)}{(m - 2)^2} - \frac{180(m - 2)^2}{(m - 2)^2} \le 0$

$-160m^2 + 760m - 780 \le 0$ i $m \neq 2$

$8m^2 - 38m + 39 \ge 0$ i $m \neq 2$

$\Delta_m = 1444 - 1248 = 196$

$m = \frac{38 - 14}{16} = \frac{3}{2}$ lub $m = \frac{38 + 14}{16} = \frac{13}{4}$

$8(m - \frac{3}{2})(m - \frac{13}{4}) \ge 0$ i $m \neq 2$

$m \in (-\infty, \frac{3}{2}] \cup [\frac{13}{4}, +\infty)$

Etap 4: Wyznaczenie części wspólnej wszystkich warunków:

$m \neq 2$, $m \in (-\infty, -3) \cup (1, +\infty)$, $m \in (-8, 2)$, $m \in (-\infty, \frac{3}{2}] \cup [\frac{13}{4}, +\infty)$

$m \in (-8, -3) \cup (1, \frac{3}{2}]$