Zadanie 12.2, maj 2025: matematyka rozszerzona

Informacja do zadań 12.1–12.2

Rozważamy wszystkie stożki, których wysokość jest większa od $5$ , a odległość środka podstawy od tworzącej jest równa $5$

Zapisz zadanie

Darmowe konto pozwoli wrócić do niego później.

.

Polecenie

Objętość $V$ stożka, jako funkcja wysokości $h$ stożka, wyraża się wzorem

$V(h) = \frac{\pi}{3} \cdot \frac{25h^3}{h^2 - 25}$

dla $h \in (5, +\infty)$ .

Wyznacz wysokość tego z rozważanych stożków, którego objętość jest najmniejsza. Oblicz tę najmniejszą objętość. Zapisz obliczenia.

Sprawdź rozwiązanieUkryj rozwiązanieKlucz CKE i punktacja

Zanim porównasz z kluczem

Jak poszło Ci z tym zadaniem?

Wybierz ocenę: zapisze wynik i od razu oznaczy zadanie jako zrobione.

Łatwe Średnie Trudne

Zapis wymaga darmowego konta. Załóż konto

Maturownik+

Sprawdź swoje rozwiązanie

Ocena według schematu punktowania CKE, zwykle w 15–30 s

Dowiedz się, ile punktów naprawdę zdobywasz. Zrób zdjęcie kartki albo wklej odpowiedź: Maturownik+ porówna ją ze schematem punktowania, policzy punkty i wytłumaczy, gdzie i dlaczego je tracisz.

Punkty według schematu
Konkretne miejsca utraty punktów
Błędy zapisane do powtórki

Załóż konto i sprawdź odpowiedź

Odpowiedź z klucza CKE

Wyznaczamy pochodną funkcji $V$ :

$V'(h) = \frac{\pi}{3} \cdot \frac{75h^2(h^2 - 25) - 25h^3 \cdot 2h}{(h^2 - 25)^2} = \frac{\pi}{3} \cdot \frac{25h^2(h^2 - 75)}{(h^2 - 25)^2}$

Schemat punktowania

4 pkt

uzasadnienie, że funkcja $V$ przyjmuje wartość najmniejszą dla $h = 5\sqrt{3}$ oraz obliczenie objętości: $V(5\sqrt{3}) = \frac{125\sqrt{3}\pi}{2}$

Komentarz

Jeśli zdający wyznacza pochodną ilorazu jako iloraz pochodnych, otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie. Jeśli nie uzasadnia istnienia najmniejszej wartości funkcji, może uzyskać co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie. Poprawne uzasadnienie minimum to badanie znaku pochodnej ze śledzeniem monotoniczności, lub stwierdzenie że dla wyznaczonej wartości $h$ funkcja ma minimum lokalne będące jedynym ekstremum.

Umiejętności w zadaniu

dla

h \in (5, +\infty)

.

Obliczamy miejsca zerowe pochodnej:

$V'(h) = 0$

$25h^2(h^2 - 75) = 0$

$h = 0 \notin (5, +\infty)$ lub $h = -5\sqrt{3} \notin (5, +\infty)$ lub $h = 5\sqrt{3} \in (5, +\infty)$

Badamy znak pochodnej:

$V'(h) < 0$ dla $h^2(h^2 - 75) < 0$ i $h \in (5, +\infty)$

$h^2 < 75$ i $h \in (5, +\infty)$

$h \in (5, 5\sqrt{3})$

Zatem $V'(h) < 0$ dla $h \in (5, 5\sqrt{3})$ oraz $V'(h) > 0$ dla $h \in (5\sqrt{3}, +\infty)$ .

Funkcja $V$ jest malejąca w $(5, 5\sqrt{3}]$ i rosnąca w $[5\sqrt{3}, +\infty)$ .

Stąd funkcja $V$ osiąga wartość najmniejszą dla $h = 5\sqrt{3}$ .

Obliczamy minimum:

$V(5\sqrt{3}) = \frac{\pi}{3} \cdot \frac{25(5\sqrt{3})^3}{(5\sqrt{3})^2 - 25} = \frac{\pi}{3} \cdot \frac{25 \cdot 125 \cdot 3\sqrt{3}}{75 - 25} = \frac{\pi}{3} \cdot \frac{9375\sqrt{3}}{50} = \frac{125\sqrt{3}\pi}{2}$

.

3 pkt

uzasadnienie (poprzez badanie monotoniczności), że funkcja $V$ przyjmuje wartość najmniejszą dla $h = 5\sqrt{3}$ .

2 pkt

obliczenie miejsca zerowego pochodnej: $h = 5\sqrt{3}$ .

1 pkt

wyznaczenie pochodnej funkcji $V$ , np. $V'(h) = \frac{\pi}{3} \cdot \frac{75h^2(h^2 - 25) - 25h^3 \cdot 2h}{(h^2 - 25)^2}$ .