Zadanie 2, maj 2025: matematyka rozszerzona

Polecenie

Wykaż, że dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej $a$ i dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej $b$ takich, że $b \ne \frac{1}{2}a$

Zapisz zadanie

Darmowe konto pozwoli wrócić do niego później.

, prawdziwa jest nierówność

$(a + 2b)^3 > 8a^2b + 16ab^2$

Sprawdź rozwiązanieUkryj rozwiązanieKlucz CKE i punktacja

Zanim porównasz z kluczem

Jak poszło Ci z tym zadaniem?

Wybierz ocenę: zapisze wynik i od razu oznaczy zadanie jako zrobione.

Łatwe Średnie Trudne

Zapis wymaga darmowego konta. Załóż konto

Maturownik+

Sprawdź swoje rozwiązanie

Ocena według schematu punktowania CKE, zwykle w 15–30 s

Dowiedz się, ile punktów naprawdę zdobywasz. Zrób zdjęcie kartki albo wklej odpowiedź: Maturownik+ porówna ją ze schematem punktowania, policzy punkty i wytłumaczy, gdzie i dlaczego je tracisz.

Punkty według schematu
Konkretne miejsca utraty punktów
Błędy zapisane do powtórki

Załóż konto i sprawdź odpowiedź

Odpowiedź z klucza CKE

Przekształcamy równoważnie nierówność, korzystając ze wzoru na sześcian sumy:

$(a + 2b)^3 > 8a^2b + 16ab^2$

Schemat punktowania

3 pkt

poprawne przekształcenia i przeprowadzenie pełnego rozumowania (tj. spełnienie kryterium za 2 punkty oraz zapisanie, że $a + 2b > 0$ oraz uzasadnienie, że dla liczb spełniających warunek $b \ne \frac{1}{2}a$

Komentarz

Jeżeli zdający sprawdza prawdziwość nierówności jedynie dla wybranych wartości $a$ i $b$ , to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.

Umiejętności w zadaniu

Wzory na sumy i różnice potęg Ćwicz podobne

$a^3 + 6a^2b + 12ab^2 + 8b^3 - 8a^2b - 16ab^2 > 0$

$a^3 - 2a^2b - 4ab^2 + 8b^3 > 0$

$a^2(a - 2b) - 4b^2(a - 2b) > 0$

$(a - 2b)(a^2 - 4b^2) > 0$

$(a - 2b)^2(a + 2b) > 0$

Z założenia $a > 0$ i $b > 0$ , więc $a + 2b > 0$ .

Ponieważ $b \ne \frac{1}{2}a$ , więc $a - 2b \ne 0$ i wtedy $(a - 2b)^2 > 0$ jako kwadrat liczby rzeczywistej różnej od zera.

Zatem $(a - 2b)^2(a + 2b)$ jest dodatnie jako iloczyn liczb dodatnich, co kończy dowód.

Alternatywnie: Przekształcenie nierówności do postaci $(a + 2b)[(a + 2b)^2 - 8ab] > 0$ , czyli $(a - 2b)^2(a + 2b) > 0$ lub rozważenie funkcji $f(a) = a^3 - 2ba^2 - 4b^2a + 8b^3$ dla $a > 0$ i wykazanie, że jej minimum wynosi 0 dla $a = 2b$ .

zachodzi

(a - 2b)^2 > 0

).

2 pkt

przekształcenie nierówności do postaci $(a - 2b)^2(a + 2b) > 0$ ALBO – przekształcenie nierówności do postaci $(a - 2b)^2 > 0$ ALBO – uzasadnienie, że funkcja $f$ osiąga wartość najmniejszą dla $a = 2b$ .

1 pkt

zastosowanie wzoru na sześcian sumy i przekształcenie nierówności do postaci $a^2(a - 2b) - 4b^2(a - 2b) > 0$ ALBO – przekształcenie nierówności do postaci $(a + 2b)[(a + 2b)^2 - 8ab] > 0$ ALBO – przekształcenie nierówności do postaci $(a + 2b)^2 > 8ab$ ALBO – rozważenie funkcji $f(a) = a^3 - 2ba^2 - 4b^2a + 8b^3$ i obliczenie pochodnej oraz miejsca zerowego.