Zadanie 3, maj 2025: matematyka rozszerzona

Polecenie

W trójkącie równobocznym $ABC$ punkt $D$

Darmowe konto pozwoli wrócić do niego później.

leży na boku

BC

. Stosunek pola trójkąta

ABD

do pola trójkąta

ADC

jest równy

\frac{\sqrt{3} - 1}{2}

.

Oblicz miarę kąta $\angle DAC$ . Zapisz obliczenia.

Sprawdź rozwiązanieUkryj rozwiązanieKlucz CKE i punktacja

Zanim porównasz z kluczem

Jak poszło Ci z tym zadaniem?

Wybierz ocenę: zapisze wynik i od razu oznaczy zadanie jako zrobione.

Łatwe Średnie Trudne

Zapis wymaga darmowego konta. Załóż konto

Maturownik+

Sprawdź swoje rozwiązanie

Ocena według schematu punktowania CKE, zwykle w 15–30 s

Dowiedz się, ile punktów naprawdę zdobywasz. Zrób zdjęcie kartki albo wklej odpowiedź: Maturownik+ porówna ją ze schematem punktowania, policzy punkty i wytłumaczy, gdzie i dlaczego je tracisz.

Punkty według schematu
Konkretne miejsca utraty punktów
Błędy zapisane do powtórki

Załóż konto i sprawdź odpowiedź

Odpowiedź z klucza CKE

45°

Trójkąty $ABD$ i $ADC$ mają wspólną wysokość opuszczoną z wierzchołka $A$ , więc stosunek ich pól jest równy stosunkowi podstaw: $\frac{|BD|}{|CD|} = \frac{\sqrt{3} - 1}{2}$

Schemat punktowania

3 pkt

zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 45°.

2 pkt

zapisanie równania z jedną niewiadomą – jednym z kątów, np. $\frac{\sin(60° - \alpha)}{\sin \alpha} = \frac{\sqrt{3} - 1}{2}$

Umiejętności w zadaniu

Rozwiązywanie trójkątów Ćwicz podobne

.

Oznaczmy $|CD| = x$ , wtedy $|BD| = \frac{\sqrt{3} - 1}{2}x$ . Niech $E$ będzie spodkiem wysokości trójkąta $ADC$ opuszczonej z $D$ .

Z własności trójkąta o kątach 30°, 60°, 90° otrzymujemy $|DE| = \frac{\sqrt{3}}{2}x$ i $|EC| = \frac{1}{2}x$ .

Ponieważ $|AE| + |EC| = |AC|$ , to $|AE| + \frac{1}{2}x = x + \frac{\sqrt{3} - 1}{2}x$ , stąd $|AE| = \frac{\sqrt{3}}{2}x$ .

Zatem $|AE| = |DE|$ , co oznacza, że trójkąt $DEA$ jest równoramienny i prostokątny, więc $\angle DAC = 45°$ .

Alternatywnie: Oznaczając $\alpha = \angle DAC$ , ze wzoru na stosunek pól otrzymujemy $\frac{\sin(60° - \alpha)}{\sin \alpha} = \frac{\sqrt{3} - 1}{2}$ , co prowadzi do $\tan \alpha = 1$ , czyli $\alpha = 45°$ .

ALBO – obliczenie współczynnika kierunkowego prostej

AD

:

2 - \sqrt{3}

.

1 pkt

zapisanie związku $\frac{|BD|}{|CD|} = \frac{\sqrt{3} - 1}{2}$ ALBO – wyznaczenie długości dwóch odcinków spośród $BD$ , $BC$ i $CD$ w zależności od jednej zmiennej.