Darmowe konto pozwoli wrócić do niego później.

• $\mathcal{O}_1: (x-1)^2 + (y+3)^2 = 5$

• $\mathcal{O}_2: (x-2)^2 + (y-4)^2 = 45$.

Te okręgi przecinają się w punktach $A$ oraz $B$. Punkt $A$ ma pierwszą współrzędną dodatnią. Punkt $M$ spełnia warunek $\overrightarrow{AM} = -2 \cdot \overrightarrow{BM}$.

Oblicz współrzędne punktów $A$, $B$ oraz $M$. Zapisz obliczenia.

Podstawiając do drugiego warunku: $(-7y - 15 - 2)^2 + (y - 4)^2 = 45$.

$(-7y - 17)^2 + (y - 4)^2 = 45$

$49y^2 + 238y + 289 + y^2 - 8y + 16 = 45$

$50y^2 + 230y + 260 = 0$

$y = -\frac{13}{5}$ lub $y = -2$

Gdy $y = -\frac{13}{5}$, to $x = -7 \cdot (-\frac{13}{5}) - 15 = \frac{91}{5} - 15 = \frac{16}{5}$.

Gdy $y = -2$, to $x = -7 \cdot (-2) - 15 = 14 - 15 = -1$.

Ponieważ pierwsza współrzędna punktu $A$ jest dodatnia: $A = (\frac{16}{5}, -\frac{13}{5})$ oraz $B = (-1, -2)$.

Z warunku $\overrightarrow{AM} = -2 \cdot \overrightarrow{BM}$:

$[x_M - \frac{16}{5}, y_M + \frac{13}{5}] = -2[x_M + 1, y_M + 2]$

$x_M - \frac{16}{5} = -2x_M - 2$, stąd $3x_M = \frac{16}{5} - 2 = \frac{6}{5}$, czyli $x_M = \frac{2}{5}$.

$y_M + \frac{13}{5} = -2y_M - 4$, stąd $3y_M = -4 - \frac{13}{5} = -\frac{33}{5}$, czyli $y_M = -\frac{11}{5}$.

Zatem $M = (\frac{2}{5}, -\frac{11}{5})$.