Wyrażenia algebraiczne

MatematykaMaj 20263 pktotwarteśrednie (szac.)

Zadanie 3

Wykaż, że dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej $x$ i dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej $y$ prawdziwa jest nierówność $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\leq\frac{x}{y^2}+\frac{y}{x^2}$

MatematykaCzerwiec 20263 pktotwarteśrednie (szac.)

Zadanie 4

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej $x$ i dla każdej liczby rzeczywistej $y$ prawdziwa jest nierówność $xy + x + y \le x^2 + y^2 + 1$

MatematykaMaj 20253 pktotwartetrudne 35%

Zadanie 2

Wykaż, że dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej $a$ i dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej $b$ takich, że $b \ne \frac{1}{2}a$, prawdziwa jest nierówność $(a + 2b)^3 > 8a^2b + 16ab^2$

MatematykaMaj 20233 pktotwartełatwe 89%

Zadanie 4

Liczby rzeczywiste $x$ oraz $y$ spełniają jednocześnie równanie $x+ y= 4$ i nierówność $x^3 −x^2y\le xy^2 −y^3$. Wykaż, że $x= 2$ oraz $y= 2$.

MatematykaMaj 20234 pktobliczeniowełatwe 77%

Zadanie 9

Rozwiąż nierówność $\sqrt{x^2+4x+4}<\frac{25}{3}-\sqrt{x^2-6x+9}$ Zapisz obliczenia. Wskazówka: skorzystaj z tego, że $\sqrt{a^2}=|a|$ dla każdej liczby rzeczywistej $a$.

MatematykaCzerwiec 20233 pktotwartetrudne (szac.)

Zadanie 5

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej dodatniej $\mathbf{a}$ prawdziwa jest nierówność $a^2 + \frac{16}{a} \ge 12$

MatematykaSpecimen 20232 pktotwarteśrednie (szac.)

Zadanie 6.1

Wykaż, że odległość punktu $R$ od punktu $P$ wyraża się wzorem $|PR| = \sqrt{\frac{1}{4}x^4 - \frac{1}{2}x^3 - \frac{13}{8}x^2 + \frac{39}{8}x + \frac{593}{64}}$ gdzie $x$ jest pierwszą współrzędną punktu $R$.

• Materiał graficzny

MatematykaMaj 20223 pktotwarteśrednie 64%

Zadanie 6

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej $x$ i dla każdej liczby rzeczywistej $y$ takich, że $2x > y$, spełniona jest nierówność $7x^3 + 4x^2y \geq y^3 + 2xy^2 - x^3$

MatematykaMaj 20224 pktobliczenioweśrednie 62%

Zadanie 9

Reszta z dzielenia wielomianu $W(x) = 4x^3 - 6x^2 - (5m + 1)x - 2m$ przez dwumian $x + 2$ jest równa $(-30)$. Oblicz $m$ i dla wyznaczonej wartości $m$ rozwiąż nierówność $W(x) \geq 0$.

MatematykaCzerwiec 20223 pktotwarteśrednie (szac.)

Zadanie 6

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej $x$ i dla każdej liczby rzeczywistej $y$ takich, że $x\neq y$, spełniona jest nierówność $x^4 + y^4 > xy(x^2 + y^2)$