Zadanie 6, maj 2022: matematyka rozszerzona

Polecenie

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej $x$ i dla każdej liczby rzeczywistej $y$ takich, że $2x > y$

Zapisz zadanie

Darmowe konto pozwoli wrócić do niego później.

, spełniona jest nierówność

$7x^3 + 4x^2y \geq y^3 + 2xy^2 - x^3$

Sprawdź rozwiązanieUkryj rozwiązanieKlucz CKE i punktacja

Zanim porównasz z kluczem

Jak poszło Ci z tym zadaniem?

Wybierz ocenę: zapisze wynik i od razu oznaczy zadanie jako zrobione.

Łatwe Średnie Trudne

Zapis wymaga darmowego konta. Załóż konto

Maturownik+

Sprawdź swoje rozwiązanie

Ocena według schematu punktowania CKE, zwykle w 15–30 s

Dowiedz się, ile punktów naprawdę zdobywasz. Zrób zdjęcie kartki albo wklej odpowiedź: Maturownik+ porówna ją ze schematem punktowania, policzy punkty i wytłumaczy, gdzie i dlaczego je tracisz.

Punkty według schematu
Konkretne miejsca utraty punktów
Błędy zapisane do powtórki

Załóż konto i sprawdź odpowiedź

Odpowiedź z klucza CKE

Przekształcenie nierówności do postaci $8x^3 - y^3 + 4x^2y - 2xy^2 \geq 0$

Schemat punktowania

1 pkt

zastosowanie wzoru na różnicę sześcianów, sześcian różnicy lub różnicę kwadratów i zapisanie nierówności w postaci pozwalającej na dalsze przekształcenia.

2 pkt

przekształcenie nierówności do postaci $(2x - y)(2x + y)^2 \geq 0$

Komentarz

Jeśli zdający sprawdza prawdziwość nierówności jedynie dla wybranych wartości $x$ i $y$ , otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.

Umiejętności w zadaniu

Zastosowanie wzoru na różnicę sześcianów: $(2x - y)(4x^2 + 2xy + y^2) + 2xy(2x - y) \geq 0$

Przekształcenie do postaci: $(2x - y)(4x^2 + 4xy + y^2) \geq 0$

Zastosowanie wzoru na kwadrat sumy: $(2x - y)(2x + y)^2 \geq 0$

Z założenia $2x > y$ , stąd $(2x - y) > 0$ .

Kwadrat każdej liczby rzeczywistej jest nieujemny: $(2x + y)^2 \geq 0$ .

Iloczyn liczby dodatniej i nieujemnej jest nieujemny, więc nierówność jest spełniona.

.

3 pkt

pełne rozumowanie: stwierdzenie, że $(2x - y) > 0$ oraz $(2x + y)^2 \geq 0$ , a zatem ich iloczyn jest nieujemny.