Zadanie 15, maj 2022: matematyka rozszerzona

Polecenie

Rozpatrujemy wszystkie trójkąty równoramienne o obwodzie równym 18.

a) Wykaż, że pole $P$ każdego z tych trójkątów, jako funkcja długości $b$

Darmowe konto pozwoli wrócić do niego później.

ramienia, wyraża się wzorem

P(b)=\frac{(18-2b) \cdot \sqrt{18b-81}}{2}

.

b) Wyznacz dziedzinę funkcji $P$ .

c) Oblicz długości boków tego z rozpatrywanych trójkątów, który ma największe pole.

Sprawdź rozwiązanieUkryj rozwiązanieKlucz CKE i punktacja

Zanim porównasz z kluczem

Jak poszło Ci z tym zadaniem?

Wybierz ocenę: zapisze wynik i od razu oznaczy zadanie jako zrobione.

Łatwe Średnie Trudne

Zapis wymaga darmowego konta. Załóż konto

Maturownik+

Sprawdź swoje rozwiązanie

Ocena według schematu punktowania CKE, zwykle w 15–30 s

Dowiedz się, ile punktów naprawdę zdobywasz. Zrób zdjęcie kartki albo wklej odpowiedź: Maturownik+ porówna ją ze schematem punktowania, policzy punkty i wytłumaczy, gdzie i dlaczego je tracisz.

Punkty według schematu
Konkretne miejsca utraty punktów
Błędy zapisane do powtórki

Załóż konto i sprawdź odpowiedź

Odpowiedź z klucza CKE

a) Niech $a$ – długość podstawy, $b$ – długość ramienia, $h$ – wysokość. Z warunku obwodu: $a + 2b = 18$ , stąd $a = 18 - 2b$

Schemat punktowania

Część a): 2 pkt – zapisanie pola jako funkcji jednej zmiennej $P(b) = \frac{(18-2b)\sqrt{18b-81}}{2}$

Komentarz

Alternatywnie część c) można rozwiązać za pomocą nierówności między średnią arytmetyczną i geometryczną. Jeśli błędnie wyznaczy się dziedzinę, można otrzymać punkty za dalsze kroki tylko gdy wyznaczone miejsce zerowe należy do poprawnej dziedziny. Badanie znaku pochodnej można opisać graficznie, szkicując wykres lub zaznaczając znaki "+" i "-".

Umiejętności w zadaniu

. Z twierdzenia Pitagorasa:

h^2 = b^2 - (\frac{a}{2})^2 = b^2 - (9-b)^2 = 18b - 81

, więc

h = \sqrt{18b-81}

. Pole:

P(b) = \frac{ah}{2} = \frac{(18-2b)\sqrt{18b-81}}{2}

.

b) Z warunku $a > 0$ : $18 - 2b > 0 \Rightarrow b < 9$ . Z warunku trójkąta $2b > a$ : $2b > 18 - 2b \Rightarrow b > \frac{9}{2}$ . Z warunku $h > 0$ : $18b - 81 > 0 \Rightarrow b > \frac{9}{2}$ . Dziedzina: $(\frac{9}{2}, 9)$ .

c) Funkcja pomocnicza $f(b) = (18-2b)^2(18b-81)$ . Pochodna: $f'(b) = 216b^2 - 3240b + 11664 = 216(b^2 - 15b + 54)$ . Miejsca zerowe: $b = 6$ lub $b = 9$ . Znak pochodnej: $f'(b) > 0$ dla $b \in (\frac{9}{2}, 6)$ i $f'(b) < 0$ dla $b \in (6, 9)$ . Funkcja $f$ osiąga maksimum w $b = 6$ . Ponieważ $P(b) = \frac{\sqrt{f(b)}}{2}$ , również $P$ osiąga maksimum w $b = 6$ . Wtedy $a = 18 - 12 = 6$ . Trójkąt równoboczny o boku 6.

(1 pkt za wyznaczenie

a

i

h

w zależności od

b

, 1 pkt za prawidłowy zapis pola).

Część b): 1 pkt – poprawne wyznaczenie dziedziny $(\frac{9}{2}, 9)$ .

Część c): 4 pkt – wyznaczenie pochodnej (1 pkt), obliczenie miejsc zerowych $b = 6$ (2 pkt), zbadanie znaku pochodnej i uzasadnienie maksimum (3 pkt), zapisanie długości boków $a = 6$ , $b = 6$ (4 pkt).