Darmowe konto pozwoli wrócić do niego później.

Wykaż, że spełniony jest warunek $|DP|^2 + |CP|^2 - |CD|^2 = \frac{4\sqrt{2}}{3} \cdot |DP| \cdot |CP|$.

Z równoległości $AB \parallel CD$ i podobieństwa trójkątów wynika:

$\frac{R_2 + 3}{|AB|} = \frac{R_2}{|CD|}$

Z warunku $|AB| = |CD| + 2$ otrzymujemy:

$\frac{R_2 + 3}{|CD| + 2} = \frac{R_2}{|CD|}$

Rozwiązanie: $|CD| = \frac{2}{3}R_2$

Z twierdzenia sinusów dla $\triangle CPD$:

$\frac{|CD|}{\sin \alpha} = 2R_2$

Stąd: $\sin \alpha = \frac{1}{3}$

Z tożsamości: $\cos \alpha = \frac{2\sqrt{2}}{3}$

Z twierdzenia cosinusów:

$|CD|^2 = |DP|^2 + |CP|^2 - 2|DP| \cdot |CP| \cdot \cos \alpha$

$|CD|^2 = |DP|^2 + |CP|^2 - 2|DP| \cdot |CP| \cdot \frac{2\sqrt{2}}{3}$

Stąd: $\frac{4\sqrt{2}}{3} \cdot |DP| \cdot |CP| = |DP|^2 + |CP|^2 - |CD|^2$