Zadanie 4, maj 2023: matematyka rozszerzona

Polecenie

Liczby rzeczywiste $x$ oraz $y$ spełniają jednocześnie równanie $x+ y= 4$

Darmowe konto pozwoli wrócić do niego później.

i nierówność

x^3 −x^2y\le xy^2 −y^3

.

Wykaż, że $x= 2$ oraz $y= 2$ .

Sprawdź rozwiązanieUkryj rozwiązanieKlucz CKE i punktacja

Zanim porównasz z kluczem

Jak poszło Ci z tym zadaniem?

Wybierz ocenę: zapisze wynik i od razu oznaczy zadanie jako zrobione.

Łatwe Średnie Trudne

Zapis wymaga darmowego konta. Załóż konto

Maturownik+

Sprawdź swoje rozwiązanie

Ocena według schematu punktowania CKE, zwykle w 15–30 s

Dowiedz się, ile punktów naprawdę zdobywasz. Zrób zdjęcie kartki albo wklej odpowiedź: Maturownik+ porówna ją ze schematem punktowania, policzy punkty i wytłumaczy, gdzie i dlaczego je tracisz.

Punkty według schematu
Konkretne miejsca utraty punktów
Błędy zapisane do powtórki

Załóż konto i sprawdź odpowiedź

Odpowiedź z klucza CKE

Z warunku $x + y = 4$ wynika $y = 4 - x$ . Podstawiając do nierówności:

$x^3 - x^2(4-x) \le x(4-x)^2 - (4-x)^3$

Schemat punktowania

3 pkt

przeprowadzenie pełnego rozumowania, tj. przekształcenie nierówności do postaci, z której można bezpośrednio wnioskować o równości liczb $x$ i $y$ oraz obliczenie tych liczb: $x= 2$ oraz $y= 2$

Komentarz

Jeśli zdający podstawia do związków konkretne wartości liczbowe i na tym opiera swoją argumentację, to otrzymuje 0 punktów. Przybliżenia dziesiętne nie są akceptowane.

Umiejętności w zadaniu

Pierwiastki całkowite wielomianu Ćwicz podobne

Przekształcając (stosując wzory skróconego mnożenia):

$x^3 - 4x^2 + x^3 \le x(16 - 8x + x^2) - (64 - 48x + 12x^2 - x^3)$

$2x^3 - 4x^2 \le 16x - 8x^2 + x^3 - 64 + 48x - 12x^2 + x^3$

$16x^2 - 64x + 64 \le 0$

$(4x - 8)^2 \le 0$

Ponieważ kwadrat liczby rzeczywistej jest nieujemny, jedynym rozwiązaniem jest $(4x-8)^2 = 0$ , stąd $x = 2$ .

Z równania $x + y = 4$ otrzymujemy $y = 2$ . $\square$

Alternacyjnie: Nierówność można przekształcić do $(x-y)(x^2-y^2) \le 0$ , czyli $(x-y)^2(x+y) \le 0$ . Dla $x+y=4>0$ musi być $(x-y)^2 = 0$ , czyli $x = y = 2$ .

.

2 pkt

zastosowanie wzoru na sześcian różnicy oraz kwadrat różnicy, wykorzystanie założenia i zapisanie nierówności kwadratowej z jedną niewiadomą w postaci $ax^2 + bx+ c\ge 0$ lub $ax^2 + bx+ c\le 0$ ALBO wykorzystanie założenia $x+ y= 4$ i zapisanie nierówności w postaci $4(x−y)^2 \le 0$ ALBO przekształcenie do $(x−y)^2 \cdot(x+ y) \le 0$ .

1 pkt

wykorzystanie zależności $x+ y= 4$ i zapisanie nierówności z jedną niewiadomą ALBO przekształcenie nierówności do określonej postaci będącej pierwszym krokiem rozwiązania.

0 pkt

rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.