Zadanie 5, maj 2023: matematyka rozszerzona

Polecenie

Dany jest trójkąt prostokątny $ABC$ , w którym $|\angle ABC| = 90°$

Darmowe konto pozwoli wrócić do niego później.

oraz

|\angle CAB| = 60°

. Punkty

K

i

L

leżą na bokach – odpowiednio –

AB

i

BC

tak, że

|BK| = |BL| = 1

(zobacz rysunek). Odcinek

KL

przecina wysokość

BD

tego trójkąta w punkcie

N

, a ponadto

|AD| = 2

.

Wykaż, że $|ND| = \sqrt{3}+ 1$ .

Sprawdź rozwiązanieUkryj rozwiązanieKlucz CKE i punktacja

Zanim porównasz z kluczem

Jak poszło Ci z tym zadaniem?

Wybierz ocenę: zapisze wynik i od razu oznaczy zadanie jako zrobione.

Łatwe Średnie Trudne

Zapis wymaga darmowego konta. Załóż konto

Maturownik+

Sprawdź swoje rozwiązanie

Ocena według schematu punktowania CKE, zwykle w 15–30 s

Dowiedz się, ile punktów naprawdę zdobywasz. Zrób zdjęcie kartki albo wklej odpowiedź: Maturownik+ porówna ją ze schematem punktowania, policzy punkty i wytłumaczy, gdzie i dlaczego je tracisz.

Punkty według schematu
Konkretne miejsca utraty punktów
Błędy zapisane do powtórki

Załóż konto i sprawdź odpowiedź

Odpowiedź z klucza CKE

W trójkącie $DAB$ o kątach $90°, 60°, 30°$ mamy: $|AD| = 2$ , $|AB| = 4$

Schemat punktowania

3 pkt

zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: $|ND| = \sqrt{3} + 1$ .

Komentarz

Przybliżenia dziesiętne liczb rzeczywistych nie są akceptowane.

Umiejętności w zadaniu

i

|BD| = 2\sqrt{3}

.

W trójkącie $BLN$ kąt $NBL$ wynosi $60°$ . W trójkącie $KBN$ kąt $KBN$ wynosi $30°$ .

Pole trójkąta $KBL$ (równe $\frac{1}{2}$ ) jest sumą pól trójkątów $BLN$ i $KBN$ :

$\frac{1}{2}|BL| \cdot |BN| \cdot \sin 60° + \frac{1}{2}|BN| \cdot |BK| \cdot \sin 30° = \frac{1}{2}$

Uwzględniając $|BK| = |BL| = 1$ :

$|BN| \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + |BN| \cdot \frac{1}{2} = 1$

$|BN| \cdot (\sqrt{3} + 1) = 2$

$|BN| = \sqrt{3} - 1$

Zatem $|ND| = |BD| - |BN| = 2\sqrt{3} - (\sqrt{3} - 1) = \sqrt{3} + 1$ . $\square$

2 pkt

obliczenie długości odcinka $BN: \sqrt{3} −1$ ALBO obliczenie długości $|BD| = 2\sqrt{3}$ i zapisanie równania z jedną niewiadomą ALBO obliczenie współrzędnych punktu $N$ ALBO przedstawienie istotnych kroków metody analitycznej.

1 pkt

zapisanie równania z jedną niewiadomą (np. z pól trójkątów, twierdzenia sinusów, zależności miarowych) ALBO obliczenie długości $|BD|$ i zapisanie $|BD| = 2\sqrt{3}$ ALBO wyznaczenie równań prostych i obliczenie współrzędnych punktów.

0 pkt

rozwiązanie, w którym zastosowano nieprawidłową metodę, albo brak rozwiązania.