Darmowe konto pozwoli wrócić do niego później.

• $K_1$ jest kwadratem o boku długości $a$

• $K_2$ jest kwadratem, którego każdy wierzchołek leży na innym boku kwadratu $K_1$ i dzieli ten bok w stosunku $1\colon3$

• $K_3$ jest kwadratem, którego każdy wierzchołek leży na innym boku kwadratu $K_2$ i dzieli ten bok w stosunku $1\colon3$

i ogólnie, dla każdej liczby naturalnej $n\ge2$,

• $K_n$ jest kwadratem, którego każdy wierzchołek leży na innym boku kwadratu $K_{n-1}$ i dzieli ten bok w stosunku $1\colon3$.

Obwody wszystkich kwadratów określonych powyżej tworzą nieskończony ciąg geometryczny.

Na rysunku przedstawiono kwadraty utworzone w sposób opisany powyżej.

Oblicz sumę wszystkich wyrazów tego nieskończonego ciągu. Zapisz obliczenia.

Oznaczamy przez $a_i$ długość boku kwadratu $K_i$, a przez $L_i$ – obwód kwadratu $K_i$ (dla $i=1,2,3,\ldots$).

Obliczamy długości boków kolejnych kwadratów:

$a_1=a$

$a_2=\sqrt{\left(\frac{1}{4}a\right)^2+\left(\frac{3}{4}a\right)^2}=\frac{\sqrt{10}}{4}a$

$a_3=\frac{\sqrt{10}}{4}a_2=\frac{\sqrt{10}}{4}\cdot\frac{\sqrt{10}}{4}a=\frac{5}{8}a$

Stąd:

$L=L_1+L_2+L_3+\ldots=4a+4\cdot\frac{\sqrt{10}}{4}a+4\cdot\frac{5}{8}a+\ldots=4a\left(1+\frac{\sqrt{10}}{4}+\frac{5}{8}+\ldots\right)$

Wyrażenie w nawiasie jest sumą szeregu geometrycznego, gdzie pierwszy wyraz to 1 i $q=\frac{\sqrt{10}}{4}$.

Ponieważ $|q|=\frac{\sqrt{10}}{4}<1$, spełnione są założenia twierdzenia o sumie nieskończonego szeregu geometrycznego.

$L=4a\cdot\frac{1}{1-\frac{\sqrt{10}}{4}}=\frac{4a}{1-\frac{\sqrt{10}}{4}}=\frac{8(4+\sqrt{10})a}{3}$