Zadanie 6, czerwiec 2022: matematyka rozszerzona

Polecenie

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej $x$ i dla każdej liczby rzeczywistej $y$ takich, że

Darmowe konto pozwoli wrócić do niego później.

x\neq y

, spełniona jest nierówność

$x^4 + y^4 > xy(x^2 + y^2)$

Sprawdź rozwiązanieUkryj rozwiązanieKlucz CKE i punktacja

Zanim porównasz z kluczem

Jak poszło Ci z tym zadaniem?

Wybierz ocenę: zapisze wynik i od razu oznaczy zadanie jako zrobione.

Łatwe Średnie Trudne

Zapis wymaga darmowego konta. Załóż konto

Maturownik+

Sprawdź swoje rozwiązanie

Ocena według schematu punktowania CKE, zwykle w 15–30 s

Dowiedz się, ile punktów naprawdę zdobywasz. Zrób zdjęcie kartki albo wklej odpowiedź: Maturownik+ porówna ją ze schematem punktowania, policzy punkty i wytłumaczy, gdzie i dlaczego je tracisz.

Punkty według schematu
Konkretne miejsca utraty punktów
Błędy zapisane do powtórki

Załóż konto i sprawdź odpowiedź

Odpowiedź z klucza CKE

Przekształcamy nierówność równoważnie: $x^4 + y^4 > x^3y + xy^3$

Schemat punktowania

1 pkt

gdy przekształci nierówność do postaci $(x-y)(x^3 - y^3) > 0$ .

2 pkt

Komentarz

Prawdziwość nierówności $x^2 + xy + y^2 > 0$ można wykazać, że dla każdych liczb rzeczywistych $x$ oraz $y$

Umiejętności w zadaniu

;

x^4 - x^3y + y^4 - xy^3 > 0

;

x^3(x-y) + y^3(y-x) > 0

;

x^3(x-y) - y^3(x-y) > 0

;

(x-y)(x^3 - y^3) > 0

;

(x-y)(x-y)(x^2 + xy + y^2) > 0

;

(x-y)^2(x^2 + xy + y^2) > 0

. Z założenia

x \neq y

, więc wyrażenie

(x-y)^2

jest dodatnie jako kwadrat liczby różnej od zera. Wyrażenie

x^2 + xy + y^2

jest dodatnie dla każdej liczby rzeczywistej

x

i każdej liczby rzeczywistej

y

takiej, że

x \neq y

. Zatem lewa strona nierówności

(x-y)^2(x^2 + xy + y^2) > 0

jest iloczynem czynników dodatnich, więc iloczyn ten jest dodatni. To kończy dowód.

gdy: przekształci nierówność do postaci $(x-y)^2(x^2 + xy + y^2) > 0$ ALBO przekształci nierówność do postaci $(x-y)(x^3 - y^3) > 0$ oraz rozpatrzy i uzasadni prawdziwość tej nierówności dla jednego z przypadków: $x < y$ albo $x > y$ .

3 pkt

gdy przeprowadzi pełne rozumowanie.

takich, że

x \neq y

można przedstawić jako sumę liczby nieujemnej i dodatniej, lub badać jako funkcję kwadratową zmiennej

x

z parametrem

y

.