Przejdź do treści
Zadanie 13, czerwiec 2022: matematyka rozszerzona | Maturownik
Baza zadań / Matura z matematyki, czerwiec 2022 / Zadanie 13 13 Zadania w arkuszu 13 z 15 Zadanie 1 1 pkt · zamknięte , średnie Zadanie 2 1 pkt · zamknięte , średnie Zadanie 3 1 pkt · zamknięte , średnie Zadanie 4 1 pkt · zamknięte , średnie Zadanie 5 2 pkt · obliczeniowe , średnie Zadanie 6 3 pkt · otwarte , średnie Zadanie 7 3 pkt · obliczeniowe , średnie Zadanie 8 3 pkt · obliczeniowe , średnie Zadanie 9 3 pkt · otwarte , trudne Zadanie 10 4 pkt · obliczeniowe , trudne Zadanie 11 4 pkt · obliczeniowe , średnie Zadanie 12 5 pkt · otwarte , trudne Zadanie 13 6 pkt · obliczeniowe , trudne Zadanie 14 6 pkt · obliczeniowe , trudne Zadanie 15 7 pkt · otwarte , trudne Pokaż wszystkie zadania Filtry Poziom, umiejętności, typ, punkty Polecenie
Wyznacz wszystkie wartości parametru m m m , dla których równanie
( x − 4 ) [ x 2 + ( m − 3 ) x + m 2 − m − 6 ] = 0 (x-4)[x^2 + (m-3)x+ m^2 -m-6] = 0 ( x − 4 ) [ x 2 + ( m − 3 ) x + m 2 − m − 6 ] = 0
13 Zadania w arkuszu 13 z 15 Zadanie 1 1 pkt · zamknięte , średnie Zadanie 2 1 pkt · zamknięte , średnie Zadanie 3 1 pkt · zamknięte , średnie Zadanie 4 1 pkt · zamknięte , średnie Zadanie 5 2 pkt · obliczeniowe , średnie Zadanie 6 3 pkt · otwarte , średnie Zadanie 7 3 pkt · obliczeniowe , średnie Zadanie 8 3 pkt · obliczeniowe , średnie Zadanie 9 3 pkt · otwarte , trudne Zadanie 10 4 pkt · obliczeniowe , trudne Zadanie 11 4 pkt · obliczeniowe , średnie Zadanie 12 5 pkt · otwarte , trudne Zadanie 13 6 pkt · obliczeniowe , trudne Zadanie 14 6 pkt · obliczeniowe , trudne Zadanie 15 7 pkt · otwarte , trudne Pokaż wszystkie zadania Filtry Poziom, umiejętności, typ, punkty Darmowe konto pozwoli wrócić do niego później.
ma trzy różne rozwiązania rzeczywiste x 1 , x 2 x_1, x_2 x 1 , x 2 oraz x 3 x_3 x 3 , spełniające warunek
x 1 ⋅ x 2 ⋅ x 3 > x 1 2 + x 2 2 + x 3 2 − 5 m − 51 x_1 \cdot x_2 \cdot x_3 > x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 -5m-51 x 1 ⋅ x 2 ⋅ x 3 > x 1 2 + x 2 2 + x 3 2 − 5 m − 51
Sprawdź rozwiązanie Ukryj rozwiązanie Klucz CKE i punktacja Zanim porównasz z kluczem
Jak poszło Ci z tym zadaniem? Wybierz ocenę: zapisze wynik i od razu oznaczy zadanie jako zrobione.
Zapis wymaga darmowego konta. Załóż konto
Maturownik+ Sprawdź swoje rozwiązanie Ocena według schematu punktowania CKE, zwykle w 15–30 s
Dowiedz się, ile punktów naprawdę zdobywasz. Zrób zdjęcie kartki albo wklej odpowiedź: Maturownik+ porówna ją ze schematem punktowania, policzy punkty i wytłumaczy, gdzie i dlaczego je tracisz.
Punkty według schematu Konkretne miejsca utraty punktów Błędy zapisane do powtórki Załóż konto i sprawdź odpowiedź Odpowiedź z klucza CKE m ∈ ( − 11 3 , − 3 − 17 / 2 ) ∪ ( − 3 − 17 / 2 , − 2 ) ∪ ( 1 , 3 ) m\in(-\frac{11}{3}, -3-\sqrt{17}/2) \cup (-3-\sqrt{17}/2, -2) \cup (1, 3) m ∈ ( − 3 11 , − 3 − 17 /2 ) ∪ ( − 3 − 17 /2 , − 2 ) ∪ ( 1 , 3 )
Schemat punktowania Etap I (2 pkt): Rozwiązanie Δ > 0 \Delta>0 Δ > 0 i warunku dla x = 4 x=4 x = 4 .
1 pkt – rozwiązanie Δ > 0 \Delta>0 Δ > 0 lub warunku dla x = 4 x=4 x = 4
Równanie ma trzy różne rozwiązania, gdy trójmian kwadratowy ma dwa różne pierwiastki różne od 4.
Warunek Δ > 0 \Delta>0 Δ > 0 : ( m − 3 ) 2 − 4 ( m 2 − m − 6 ) > 0 (m-3)^2-4(m^2-m-6)>0 ( m − 3 ) 2 − 4 ( m 2 − m − 6 ) > 0 , czyli − 3 m 2 + 2 m + 33 > 0 -3m^2+2m+33>0 − 3 m 2 + 2 m + 33 > 0 , stąd m ∈ ( − 11 3 , 3 ) m\in(-\frac{11}{3}, 3) m ∈ ( − 3 11 , 3 ) .
Warunek 4 2 + ( m − 3 ) ⋅ 4 + m 2 − m − 6 ≠ 0 4^2+(m-3)\cdot 4+m^2-m-6\neq 0 4 2 + ( m − 3 ) ⋅ 4 + m 2 − m − 6 = 0 : 16 + 4 m − 12 + m 2 − m − 6 ≠ 0 16+4m-12+m^2-m-6\neq 0 16 + 4 m − 12 + m 2 − m − 6 = 0 , czyli m 2 + 3 m − 2 ≠ 0 m^2+3m-2\neq 0 m 2 + 3 m − 2 = 0 , stąd m ≠ − 3 ± 17 2 m\neq\frac{-3\pm\sqrt{17}}{2} m = 2 − 3 ± 17 .
Niech x 3 = 4 x_3=4 x 3 = 4 , x 1 , x 2 x_1, x_2 x 1 , x 2 są pierwiastkami trójmianu. Ze wzorów Viete'a: x 1 + x 2 = − ( m − 3 ) = 3 − m x_1+x_2=-(m-3)=3-m x 1 + x 2 = − ( m − 3 ) = 3 − m i x 1 x 2 = m 2 − m − 6 x_1x_2=m^2-m-6 x 1 x 2 = m 2 − m − 6 .
Warunek: 4 ( m 2 − m − 6 ) > ( ( 3 − m ) 2 − 2 ( m 2 − m − 6 ) ) + 16 − 5 m − 51 4(m^2-m-6)>((3-m)^2-2(m^2-m-6))+16-5m-51 4 ( m 2 − m − 6 ) > (( 3 − m ) 2 − 2 ( m 2 − m − 6 )) + 16 − 5 m − 51 .
Upraszczając: 4 m 2 − 4 m − 24 > ( 9 − 6 m + m 2 − 2 m 2 + 2 m + 12 ) + 16 − 5 m − 51 4m^2-4m-24>(9-6m+m^2-2m^2+2m+12)+16-5m-51 4 m 2 − 4 m − 24 > ( 9 − 6 m + m 2 − 2 m 2 + 2 m + 12 ) + 16 − 5 m − 51 , czyli 4 m 2 − 4 m − 24 > 21 − 9 m − m 2 + 16 − 5 m − 51 4m^2-4m-24>21-9m-m^2+16-5m-51 4 m 2 − 4 m − 24 > 21 − 9 m − m 2 + 16 − 5 m − 51 .
Stąd: 5 m 2 + 10 m − 10 > 0 5m^2+10m-10>0 5 m 2 + 10 m − 10 > 0 , czyli m 2 + 2 m − 2 > 0 m^2+2m-2>0 m 2 + 2 m − 2 > 0 , czyli m < − 1 − 3 m<-1-\sqrt{3} m < − 1 − 3 lub m > − 1 + 3 m>-1+\sqrt{3} m > − 1 + 3 .
Wartość − 1 + 3 ≈ 0,732 -1+\sqrt{3}\approx 0{,}732 − 1 + 3 ≈ 0 , 732 oraz − 1 − 3 ≈ − 2,732 -1-\sqrt{3}\approx -2{,}732 − 1 − 3 ≈ − 2 , 732 .
Dostosowując do warunków: m ∈ ( − 11 3 , − 3 − 17 / 2 ) ∪ ( − 3 − 17 / 2 , − 2 ) ∪ ( 1 , 3 ) m\in(-\frac{11}{3}, -3-\sqrt{17}/2) \cup (-3-\sqrt{17}/2, -2) \cup (1, 3) m ∈ ( − 3 11 , − 3 − 17 /2 ) ∪ ( − 3 − 17 /2 , − 2 ) ∪ ( 1 , 3 ) .
.
2 pkt – rozwiązanie obu warunków: m ∈ ( − 11 3 , 3 ) m\in(-\frac{11}{3}, 3) m ∈ ( − 3 11 , 3 ) i m ≠ − 3 − 17 2 , m ≠ − 3 + 17 2 m\neq\frac{-3-\sqrt{17}}{2}, m\neq\frac{-3+\sqrt{17}}{2} m = 2 − 3 − 17 , m = 2 − 3 + 17 .
Etap II (3 pkt): Wyznaczenie wartości m m m spełniających nierówność warunkową.
1 pkt – zapisanie warunku jako 4 ( m 2 − m − 6 ) > x 1 2 + x 2 2 + 16 − 5 m − 51 4(m^2-m-6)>x_1^2+x_2^2+16-5m-51 4 ( m 2 − m − 6 ) > x 1 2 + x 2 2 + 16 − 5 m − 51 .
2 pkt – doprowadzenie do nierówności z jedną niewiadomą m m m .
3 pkt – wyznaczenie m ∈ ( − ∞ , − 2 ) ∪ ( 1 , + ∞ ) m\in(-\infty, -2)\cup(1, +\infty) m ∈ ( − ∞ , − 2 ) ∪ ( 1 , + ∞ ) .
Etap III (1 pkt): Wyznaczenie iloczynu wszystkich warunków: m ∈ ( − 11 3 , − 3 − 17 / 2 ) ∪ ( − 3 − 17 / 2 , − 2 ) ∪ ( 1 , 3 ) m\in(-\frac{11}{3}, -3-\sqrt{17}/2) \cup (-3-\sqrt{17}/2, -2) \cup (1, 3) m ∈ ( − 3 11 , − 3 − 17 /2 ) ∪ ( − 3 − 17 /2 , − 2 ) ∪ ( 1 , 3 ) .