Zadanie 14, czerwiec 2022: matematyka rozszerzona

Polecenie

Dane są okrąg $o_1$ o równaniu $(x-6)^2 + (y-4)^2 = 98$

Darmowe konto pozwoli wrócić do niego później.

oraz okrąg

o_2

o promieniu

2\sqrt{5}

. Środki okręgów

o_1

i

o_2

leżą po różnych stronach prostej

k

o równaniu

y= -3x-6

, a punkty wspólne obu okręgów leżą na prostej

k

. Wyznacz równanie okręgu

o_2

.

Sprawdź rozwiązanieUkryj rozwiązanieKlucz CKE i punktacja

Zanim porównasz z kluczem

Jak poszło Ci z tym zadaniem?

Wybierz ocenę: zapisze wynik i od razu oznaczy zadanie jako zrobione.

Łatwe Średnie Trudne

Zapis wymaga darmowego konta. Załóż konto

Maturownik+

Sprawdź swoje rozwiązanie

Ocena według schematu punktowania CKE, zwykle w 15–30 s

Dowiedz się, ile punktów naprawdę zdobywasz. Zrób zdjęcie kartki albo wklej odpowiedź: Maturownik+ porówna ją ze schematem punktowania, policzy punkty i wytłumaczy, gdzie i dlaczego je tracisz.

Punkty według schematu
Konkretne miejsca utraty punktów
Błędy zapisane do powtórki

Załóż konto i sprawdź odpowiedź

Odpowiedź z klucza CKE

Punkty wspólne okręgu $o_1$ i prostej $k$ to $A=(-\frac{19}{5},\frac{27}{5})$

Schemat punktowania

6 pkt

pełne rozwiązanie: wyznaczenie punktu wspólnego okręgu i prostej, równania prostej przechodzącej przez środki, współrzędnych środka S₂ oraz równania okręgu. Po 1–2 pkt za kolejne prawidłowo wykonane etapy zgodnie ze schematem CKE; maksymalnie 5 pkt, jeśli nie odrzucono drugiego środka niespełniającego warunków zadania.

Komentarz

Głównym wyzwaniem jest uświadomienie sobie, że cięciwa wspólnych punktów leży na prostej $k$ , zatem środki $S_1$ i $S_2$ są równoodległe (w sensie prostopadłego rozkładu) od tej linii. Istnieją dwie pozycje dla $S_2$

Umiejętności w zadaniu

oraz

B=(-1,-3)

. Prosta przechodząca przez środki okręgów

o_1

i

o_2

, prostopadła do wspólnej cięciwy, ma równanie

y=\frac13x+2

. Niech

S_2=(a,\frac13a+2)

. Z warunku

|S_2B|=2\sqrt5

otrzymujemy dopuszczalny środek

S_2=(-3,1)

. Zatem

o_2:(x+3)^2+(y-1)^2=20

.

spełniające warunki.