Zadanie 9, czerwiec 2022: matematyka rozszerzona

Polecenie

W trapezie $ABCD$ o podstawach $AB$

Darmowe konto pozwoli wrócić do niego później.

i

CD

przez punkt

O

przecięcia się przekątnych poprowadzono dwie proste równoległe do boków

BC

i

AD

. Prosta równoległa do boku

BC

przecina bok

AB

w punkcie

B'

, a prosta równoległa do boku

AD

przecina bok

AB

w punkcie

A'

. Wykaż, że

|AA'| = |BB'|

.

Sprawdź rozwiązanieUkryj rozwiązanieKlucz CKE i punktacja

Zanim porównasz z kluczem

Jak poszło Ci z tym zadaniem?

Wybierz ocenę: zapisze wynik i od razu oznaczy zadanie jako zrobione.

Łatwe Średnie Trudne

Zapis wymaga darmowego konta. Załóż konto

Maturownik+

Sprawdź swoje rozwiązanie

Ocena według schematu punktowania CKE, zwykle w 15–30 s

Dowiedz się, ile punktów naprawdę zdobywasz. Zrób zdjęcie kartki albo wklej odpowiedź: Maturownik+ porówna ją ze schematem punktowania, policzy punkty i wytłumaczy, gdzie i dlaczego je tracisz.

Punkty według schematu
Konkretne miejsca utraty punktów
Błędy zapisane do powtórki

Załóż konto i sprawdź odpowiedź

Odpowiedź z klucza CKE

Sposób 1 (trójkąty podobne): Oznaczmy przez $H$ wysokość trapezu $ABCD$ , a przez $h$ – wysokość trójkąta $ABO$ opuszczoną z punktu $O$ na bok $AB$

Schemat punktowania

1 pkt

gdy zauważy podobieństwo trójkątów $ABD$ i $A'BO$ i zapisze proporcję, lub zauważy podobieństwo trójkątów $ABC$ i $AB'O$

Umiejętności w zadaniu

. Ponieważ

AD \parallel A'O

, więc

|\angle DAB| = |\angle OA'B|

oraz

|\angle ADB| = |\angle A'OB|

. Zatem trójkąty

ABD

i

A'BO

są podobne, stąd

\frac{|AB|}{|A'B|} = \frac{H}{h}

. Podobnie trójkąty

ABC

i

AB'O

są podobne, stąd

\frac{|AB|}{|AB'|} = \frac{H}{h}

. Z tego wynika

|A'B| = |AB'|

. Ponieważ

|A'B| = |AB| - |AA'|

oraz

|AB'| = |AB| - |BB'|

, więc

|AB| - |AA'| = |AB| - |BB'|

, czyli

|AA'| = |BB'|

.

Sposób 2 (porównanie pól): Niech $H$ – wysokość trapezu, $h_1$ – wysokość trójkąta $ABO$ z punktu $O$ na bok $AB$ , $h_2$ – wysokość trójkąta $CDO$ z punktu $O$ na bok $CD$ , $a = |AA'|$ , $b = |BB'|$ . Z własności trapezu $H = h_1 + h_2$ oraz $P_{\triangle AOD} = P_{\triangle BOC} = P$ . Pole równoległoboku $AA'FD$ równa się $\frac{1}{2}a \cdot h_1 + P_{\triangle AOD} + \frac{1}{2}a \cdot h_2$ , ale też $a \cdot H = a(h_1 + h_2)$ , stąd $\frac{1}{2}a(h_1 + h_2) = P$ . Analogicznie pole równoległoboku $BB'EC$ daje $\frac{1}{2}b(h_1 + h_2) = P$ . Stąd $a = b$ .

, lub zapisze

P_{\triangle AOD} = P_{\triangle BOC}

, lub zapisze pole równoległoboku w zależności od danych.

2 pkt

gdy zapisze proporcje z obu par podobnych trójkątów, lub zapisze pola obydwu równoległoboków z poprawnymi zależnościami.

3 pkt

gdy przeprowadzi pełne rozumowanie.