Darmowe konto pozwoli wrócić do niego później.

Stosunek sumy $S_N$ wszystkich wyrazów tego ciągu o numerach nieparzystych do sumy $S_P$ wszystkich wyrazów tego ciągu o numerach parzystych jest równy różnicy tych sum, tj. $\frac{S_N}{S_P}= S_N-S_P$. Oblicz $q$.

Zauważ, że każdy z ciągów $(a_1, a_3, a_5, \ldots)$, $(a_2, a_4, a_6, \ldots)$ jest geometryczny z ilorazem $q^2$.

Ze wzoru na sumę szeregu geometrycznego: $S_N=\frac{a_1}{1-q^2}=\frac{q}{1-q^2}$ i $S_P=\frac{a_2}{1-q^2}=\frac{q^2}{1-q^2}$.

Z warunku $\frac{S_N}{S_P}=S_N-S_P$ wynika równanie $\frac{q}{1-q^2}\cdot\frac{1-q^2}{q^2}=\frac{q}{1-q^2}-\frac{q^2}{1-q^2}$.

Upraszczając: $\frac{1}{q}=\frac{q-q^2}{1-q^2}=\frac{q(1-q)}{(1-q)(1+q)}=\frac{q}{1+q}$.

Stąd $1+q=q^2$, czyli $q^2-q-1=0$.

Rozwiązania: $q=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$ lub $q=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$.

Tylko pierwsze spełnia warunek $|q|<1$.